Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Еще один взгляд на вариационную задачу с подвижными концами

В предыдущем разделе мы отметили, что вернемся к рассмотрению случая, когда конец А закреплен, а конец В свободен. Рассмотрим этот случай подробнее, причем далее не будем предполагать, что множество допустимых кривых образует центральное поле.

Итак, пусть найдена некоторая экстремальных). Тогда очевидно, что наш функционал J на данной экстремали будет функцией от координат точки В. Обозначим эту функцию S(B) и, заметив, что S(A) = 0, запишем ее в виде S(B) — 5(И). Учитывая, что координаты точки В свободны, можем записать S(x, у) вместо S(B). Вычислим теперь полную производную 5(х, у), которую обозначим ср(х, у,у')

Тогда для любой кривой у(х), соединяющей точки А и В,

и для исходной экстремали у(х) неравенство J(y) >J(y) запишется в виде

Приведенные построения приводят к такому определению минимума функционала.

0.2.5. Если задано множество кривых {у} с фиксированными концами А и В и у0(х) — элемент этого множества, такой, что вдоль У0(*):

существует полная производная ф0(х, у, у');

fx, у, у')0(х, у, у') вдоль любой другой кривой множества {у}, тогда у0(х) дает минимум функционала относительно всех других кривых множества.

Отталкиваясь от приведенных построений, приведем следующее определение поля грансверсалей (геодезических наклонов).

0.2.6. Назовем функцию и(х, у) функцией наклона поля транс- версалей, если существует полная производная

такая, что для всех значений (х, у, у'), координаты (х, у) которых лежат в области определения функции и(х, у), справедливо неравенство

причем равенство имеет место при у' = и.

Огметим, что функция ф0 полностью определяется и функцией наклона поля трансверсалей и{х, у). Действительно, разность fx, у, у')—ф0(х, у, у'), рассматриваемая как функция у', достигает минимума, равного нулю, приу'= и. Но при этом и производная по у'разности / — ф0 должна быть равна нулю при таком значении у', откуда получаем

Исключая S из второго соотношения, на основе первого приходим к таким фундаментальным уравнениям вариационного исчисления:[1]

Смысл уравнений (2.36) в том, что для любой кривой у(х), соединяющей точки А и В в рассматриваемой области, криволинейный интеграл

равен S(B)—S(A) и зависит только от концевых точек. Но интеграл (2.37) есть уже знакомый нам интеграл Гильберта (2.33). Заметим, что под знаком интеграла в (2.37) стоит не что иное, как наша функция (р0(х, у, у'), так как

Таким образом, мы вновь пришли к интегралу Гильберта, но на основе иных рассуждений, чем ранее.

  • [1] Обратим внимание на то, что Sx и S — не что иное, как гамильтониан Н(х, у, у) и вспомогательная функция р(х, у, у), определяемые формулами (2.18).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>