Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Задачи с негладкими экстремалями и условия Вейеригграсса—Эрдманна

Классическое вариационное исчисление почти 100 лет со времен трудов Эйлера и Лагранжа оперировало гладкими экстремалями, и проблема расширения класса допустимых кривых до классов негладких кривых, в частности тех, которые имеют разрывы производных, возникла в середине XIX в. Понятно, что расширение

Допустимые кривые с разрывами производных класса допустимых экстремалей важно, поскольку расширяет класс тех функций, среди которых разыскивается минимум функционала

Рис. 2.11. Допустимые кривые с разрывами производных класса допустимых экстремалей важно, поскольку расширяет класс тех функций, среди которых разыскивается минимум функционала.

Итак, будем предполагать, что класс допустимых функций принадлежит к классу непрерывных, которые могут иметь разрывы производных, как это показано на рис. 2.11. В точке с производная

— f, не существует! И здесь исходный функционал

dxy

представим в виде где

Далее для краткости и простоты предполагаем, что координаты концевых точек Л(а, у(а)), В(Ь, у{Ь)) промежутка заданы.

Первая вариация (2.38)

ения для вари;

откуда, выписывая выражения для вариации, получим

Обозначим Д(') разность величин справа и слева от угловой точки. При этом по непрерывности допустимых кривых в точке с

Тогда с учетом удовлетворения интегральным частям в (2.39) (из которых получаем уравнение Эйлера—Лагранжа на всем промежутке а, b) df /dy -d(df /dy')/dx = 0 получим окончательное выражение для первой вариации, содержащей вариации координат точки с — ее абсциссы и ординаты у(с):

Если на положение точки (с, у(с)) не наложены никакие ограничения (говоря иначе, вариации 6х и 6у свободны), то необходимые условия принимают вид:

Условия Эрдманна— Вейерштрасса для разыскиваемого положения ординаты у(с)

Рис. 2.12. Условия Эрдманна— Вейерштрасса для разыскиваемого положения ординаты у(с)

Если же, например, положение абсциссы точки с задано, что равносильно наложению ограничения на ее положение, то первое из условий (2.41) удовлетворяется, и остается второе условие для разыскания положения ординаты у(с):

Иллюстрация последнего случая приведена на рис. 2.12, где величина разыскиваемой ординаты «перемещается» вдоль линии х = с.

В заключение приведем выражение д ля первой вариации функционала в общем случае[1], т. е. когда подвижны границы и имеется точка излома экстремали:

Здесь первое слагаемое содержит условия трансверсальности, тогда как второе включает в себя условия Эрдманна—Вейерштрасса.

Замечание 2.10. Обобщение условий Эрдманна—Вейерштрасса для функционала, зависящего от п функций одной независимой переменной, например, для условий вида (2.41), дает в точке с

Замечание 2.11. Если на промежутке имеется несколько точек излома, то для каждой из них записываются условия Эрдманна— Вейерштрасса в одной из тех форм, которые приведены ранее в зависимости от условий, накладываемых на положение как абсциссы, так и ординаты каждой точки излома экстремальной кривой.

Замечание 2.12. Выражение (2.42) для первой вариации, содержащее условия трансверсальности и условия Эрдманна—Вейерштрасса, обычно используют при построении численных методов в задачах, где границы и положение точек излома экстремалей неизвестны, что мы и рассмотрим в разд. 8.

Заключение к разделу 2

Подходы, развитые в данном разделе, оказались весьма плодотворными в вариационном исчислении. В первую очередь, как это ни покажется удивительным, это относится к фундаментальному вопросу, который мы пока не затрагивали, а именно к вопросу существования самих минимизирующих наш функционал функций. Действительно, уравнение Эйлера—Лагранжа дает только те кривые, которые «подозрительны» на минимум. Говоря иначе, подход, основанный на идеях Эйлера—Лагранжа, дает только необходимые условия и никак не отвечает на вопрос о том, а существует ли решение задачи. Для многих классов задач необходимых условий вполне достаточно, но не для всех. И важная задача — выявление тех условий, при которых какая-либо частная задача может быть отнесена к тому или иному классу задач, где мы суверенностью можем для поиска минимума руководствоваться необходимыми условиями. Но в общем случае надеяться только на необходимые условия нельзя.

  • [1] Мы предполагаем, что интегральная часть первой вариации удовлетворена, так как полагаем, что мы удовлетворяем уравнению Эйлера-Лагранжа.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>