Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Изопериметрическая задача

Начнем с примера.

Задача Дидоны:' будем разыскивать среди всех кривых, имеющих заданную длину/, ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Математически задача формулируется так:

при этом семейство допустимых кривых должно удовлетворять не только концевым условиям, но и интегральному условию:

которое ограничивает все семейство допустимых функций.

Решение этой задачи — дуга окружности, что мы и покажем далее, опираясь на рассматриваемый здесь подход.

Сначала поставим задачу в общем случае. Пусть требуется найти экстремум функционала:

1 Предание гласит, что изгнанная царица Дидона вместе со спутниками пристала к берегу и попросила у местного владыки место, где им можно будет обосноваться. «Возьми воловью шкуру и сколько площади ты отделишь с ее помощью, столько и будет твоей», — сказал владыка. Мудрая Дидона разрезала шкуру на тонкие полоски и ими отделила изрядную площадь.

при концевых условиях и интегральном ограничении

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.1 (Эйлер, 1744 г.). Если кривая у(х) дает экстремум функционала (3.1) и удовлетворяет условиям (3.2) и (3.3), а также не является экстремалью функционала (3.3), то существует постоянная /, такая, что эта кривая является экстремалью функционала

Доказательство. Пусть кривая у(х) дает экстремум функционала У и удовлетворяет условию (3.3). Выберем в интервале [а, b] две точки сис!и дадим функции у(х) приращение бу = 8(.у + 8 dy только в окрестности этих точек. Тогда приращение функционала

И р,, р, -> О При <7р <т2 -»0.

Потребуем, чтобы проварьированная кривая удовлетворяла условию

Запишем приращение ДК, отвечающее такому приращению, в аналогичном (3.4) виде:

где, также как и ранее, рJ, р'2 -*? 0 при а,, а2 -»О. Выберем теперь точку d так, что

Такая точка существует, так как по условию у(х) не является экстремалью для К. Но тогда (3.5) можно записать в виде

где р'^Опри а,-» 0.

Теперь остается выбрать

и подставить в выражение для AJ (3.4) найденное ст2 из (3.6), после чего получим

Здесь слагаемое в фигурных скобках — главная линейная часть полного приращения AJ, т. е. первая вариация J за счет проварьи- рованной кривой у, (х), е > 0; а, отлично от нуля.

Теперь, приравнивая к нулю первую вариацию, получаем необходимое условие экстремума вида

Таким образом, теорема Эйлера доказана.

Замечание3.1. Числовой множительX, называемый;множителем Лагранжа. определяется в процессе решения задачи следующим образом. Экстремаль находится как функция параметра X, значение которого определяется после ее подстановки в интегральное ограничение (3.3). Отсюда непосредственно следует и то, что интегральное ограничение (3.3) действительно является ограничением «в целом» на экстремальную кривую, поскольку это ограничение не накладывает условий в точках экстремали.

Замечание 3.2. Естественно, что рассмотренную теорему Эйлера можно обобщить и для функционала, зависящего от п функций:

с ограничениями вида

В этом случае необходимые условия (уравнения Эйлера—Лагранжа) имеют вид:

где Х (/ = 1,2,..., т) — неизвестные числовые множители Лагранжа.

Замечание 3.3. На изопериметрическую задачу «автоматически» переносятся все полученные ранее необходимые условия (условия Лежандра и Вейерштрасса), а также условия трансверсальности и Эрдмана—Всйерштрасса, поскольку первые носят поточечный характер, а вторые связаны с условиями либо на концах, либо в отдельных точках промежутка [а, b].

Пример 3.1. Рассмотрим в качестве примера решение задачи Дидоны. Итак, пусть требуется найти максимум функционала

при ограничениях

Следуя теореме Эйлера, построим новый функционал:

Поскольку функция Fне зависит явно отх, то существует первый интеграл уравнения Эйлера:

Определим локальный угол наклона экстремали: откуда получим

где

или

Дифференцируя это уравнение пох, получаем Огсюда находим выражение для х:

Итак, мы получили уравнения для семейства экстремалей: откуда, исключая параметр 0, найдем:

Таким образом, действительно, искомая кривая — окружность. Постоянные Си С, определим из условий прохождения дуги окружности через заданные концевые точки, а множитель Лагранжа найдем из условия, что длина дуги окружности равна I.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>