Задачи со старшими производными

Пусть имеется функционал, зависящий не только от функции у(х) и ее первой производной у', но и от второй у”и т. д. (вплоть до производной я-го порядка включительно У"*):

Преобразуя систему уравнений после почленного сложения, получим

Откуда

В качестве класса допустимых кривых выберем такие кривые, которые принадлежат классу С'[а, Ь, т. е. непрерывны и имеют непрерывные производные до л-го порядка включительно, и удовлетворяют следующим краевым условиям:

Таким образом, мы получили еще одно расширение простейшей задачи вариационного исчисления.

Как и ранее, будем предполагать, требуемую непрерывность у подынтегральной функции/в (3.49) по всем аргументам.

Рассмотрим основное необходимое условие экстремума, т. е. потребуем выполнения условия

Нам нужно вычислить первую вариацию функционала (3.49). При этом здесь под первой вариацией мы понимаем главную часть его приращения относительно вариаций 6у, бу',..., бУ"_|), которые должны быть согласованы с краевыми условиями (3.50):

Выпишем полное приращение функционала (3.49):

где последнее многоточие означает совокупность членов, имеющих порядок выше первого относительно вариаций бу, бу',..., бу(я). Таким образом, первая вариация имеет вид:

и для экстремума функционала (3.49) необходимо, чтобы

Интегрируя по частям, избавимся от вариаций всех производных и, используя краевые условия (3.51), получим

для любой функции 6у, обладающей непрерывными производными до /7-го порядка и удовлетворяющей краевым условиям (3.50). Отсюда по предыдущему (п. 1.4) получаем уравнение, которое носит наименование уравнения Эйлера—Пуассона:

Краевыми условиями к уравнению (3.52) служат условия (3.50). Замечание 3.7. При получении уравнения Эйлера—Пуассона неявно предполагалось существование всех старших производных:

что доказывается с некоторым усложнением выкладок.

Заключение к разделу 3

Расширения постановки вариационных задач, приведенные в данном разделе, весьма важны как с точки зрения теории, так и с позиций практического приложения. Действительно, созданные человеком машины и разнообразные системы, как правило, описываются дифференциальными уравнениями, и поскольку мы хотим создавать их с наилучшими характеристиками, то должны рассматривать соответствующие вариационные задачи. Совершенно аналогично природные явления во многих случаях предполагают использование подходов вариационного исчисления для их описания, и именно на пути построения таких подходов были получены вариационные принципы в физике и механике.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >