Еще один взгляд на условие Лежандра

Займемся исследованием квадратичного функционала (4.4)

на множестве гладких функций И(х), которые удовлетворяют следующим краевым условиям:

Будем рассматривать (4.7) как отдельно взятый функционал и изучать семейство функций, среди которых разыскиваем его

Краевыми условиями для этого уравнения служат условия (4.8).

Введем теперь важнейшее понятие сопряженной точки.

0.4.1. Точка с е [а, Ь называется сопряженной с точкой а, если уравнение (4.9) имеет решение, не равное тождественно нулю, обращающееся в нуль при х = с и при х = а.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1. Если Р > 0 при хе [а,Ь и сегмент [а, b] не содержит точек, сопряженных с точкой а, то функционал

положительно определен для всех И(х), таких, что

Доказатегьство. Для того чтобы показать положительную определенность функционала, нам требуется показать, что он всегда положителен и обращается в нуль только на нулевой функции.

Ранее мы уже нашли, что при выборе функции w(x), удовлетворяющей уравнению

исходный квадратичный функционал может быть приведен к виду

т. е. он неотрицателен.

Если же функция h(x) обращает его в нуль, то она, очевидно, является экстремалью, т. е. решением уравнения Эйлера—Лагранжа (4.9). Но она же, исходя из вида квадратичного функционала (4.10), должна удовлетворять и условию

экстремум. Уравнение Эйлера—Лагранжа для искомой функции И(х) имеет вид:

откуда, при х = а для И{а) = 0, получаем /?'(а) = 0, т. е. решение этого уравнения — тождественный нуль; из этого следует, что функционал (4.7) положительно определен.

Теперь покажем, что при отсутствии на сегменте [а, Ь сопряженных с а точек уравнение Эйлера—Лагранжа (4.9) имеет решение, определенное на всем промежутке. Сделав замену переменных следующего вида:

где и(х) - некоторая новая переменная; в уравнении

вновь получим уравнение Эйлера—Лагранжа для исходного функционала (4.7):

Если на сегменте [а, Ь нет точек, сопряженных с а, т. е. если и(х) ^ ^ 0, то уравнение Эйлера—Лагранжа имеет решение, не обращающееся в нуль на всем сегменте. Действительно, по непрерывной зависимости решения от начальных условий найдется с > 0, такое, что промежуток [а, Ь не содержит точек, сопряженных с точкой а — е. Тогда решение с начальными условиями и(а—с) = 0 и а'(а—е) = = 1 не обращается в нуль на [а, А].

Таким образом, если промежуток [а, Ь не содержит точек, сопряженных с а, то функционал

при Р > 0 действительно положительно определен.

Замечание 4.1. Оказывается, что приведение квадратичного функционала

к виду является непрерывным аналогом приведения квадратичной формы

к сумме квадратов:

Замечание 4.2. Вспоминая о подходе Лежандра, отметим, что доказанная теорема 4.1 как раз реализует его идею.

Оказывается, отсутствие сопряженных точек на а, Ь не только достаточно, но и необходимо для положительной определенности функционала:

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.2. Если квадратичный функционал

с Р > 0 на а,Ь положительно определен для всех гладких функций h(x)таких,что

то сегмент [а, Ь] не содержит точек, сопряженных с а.

Доказательство теоремы существенно опирается на лемму. Лемма. Если функция h(x) удовлетворяет уравнению

с граничными условиями то для такой h(x)

Доказательство. Оно тривиально, интегрируем по частям второе слагаемое с учетом значений функции И(х) на концах:

Возвращаясь к теореме 4.2, опустим ее доказательство, ограничившись только его основной идеей. Построим семейство квадратичных функционалов, зависящих от параметра /, причем t е [0, 1 ]:

При t= 1 получаем исходный функционал, а при t= 1 — функционал вида

который не имеет сопряженных точек, поскольку его экстремали прямые: у{х) = С,х + С2. Так как исходный функционал

положительно определен, то и построенный вспомогательный функционал (4.12) также положительно определен при всех /.

Идея доказательства в том, что при непрерывном изменении t от 0 до 1 сопряженные точки не могут возникнуть. При этом рассматривается уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала (4.12):

Пусть h(x, t) — решение уравнения (4.13), такое, что h(a, t) = О, h'(a, t) = 1. Это решение является непрерывной функцией параметра t, причем при t = 1 оно переходит в решение уравнения

удовлетворяющее условиям h(a) = 0, ha) = 1, тогда как при t = О оно переходит в уравнение И" = О при тех же краевых условиях, т. е. его решением является функция

Далее доказывается, что при пробегании параметром / всех допустимых значений от 0 до 1, у решения уравнения (4.13) на промежутке [а, Ь не могут появиться точки, сопряженные с точкой а.

Рассуждая совершенно аналогично, приходим к такой теореме.

Теорема 4.3. Если квадратичный функционал

неотрицателен при то решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям h(a) = О, И '(а) = 1, не обращается в нуль ни в одной точке сегмента [а, b].

Доказательство. Если функционал

неотрицателен, то вспомогательный квадратичный функционал (4.12) положительно определен всюду, кроме, возможно, t= 1. При этом теорема 4.2 остается в силе. Также заметим, что случай, когда h(b) = 0, возможен.

Таким образом, теоремы 4.2 и 4.3 дают в итоге следующую теорему.

Теорема 4.4. Для того чтобы квадратичный функционал

был положительно определен для всех И{х), таких, что

необходимо и достаточно, чтобы сегмент а, Ь не содержал точек, сопряженных с точкой а.

Итак, в пп. 4.2 и 4.3 мы рассмотрели квадратичный функционал, порожденный второй вариацией функционала, и его связь с условием Лежандра. Также нами было определено понятие сопряженной точки, появление которой на промежутке задания экстремали, как оказывается, влияет на положительную определенность квадратичною функционала. В связи с этим встает вопрос о необходимости установления связи между сопряженными точками и некоторыми условиями, определяющими способность найденной экстремали дать экстремум исходному функционалу. Этот вопрос был решен К. Якоби (1804—1851), который развил идеи Лежандра.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >