Сопряженные точки и необходимое условие Якоби

Итак, вернемся к простейшей задаче:

и применим к ней полученные в двух последних пунктах результаты.

Ранее мы получили такое выражение для второй вариации функционала:

Рассмотрим уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала (4.15).

0.4.2. Уравнение Эйлера—Лагранжа

квадратичного функционала (4.15) называется уравнением Якоби исходного функционала (4.14).

0.4.3. Точка с называется сопряженной с точкой а по отношению к функционалу (4.14), если она является сопряженной с а по отношению к квадратичному функционалу (4.15), являющемуся второй вариаций функционала (4.14).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.5 (необходимое условие Якоби). Для того чтобы экс- тремальу =у(х) давала минимум функционалу

необходимо, чтобы сегмент 1а, Ь не содержал точек, сопряженных с а.

Доказательство. В п. 1.5 мы показали, что неотрицательность второй вариации есть необходимое условие минимума. А согласно теореме 3.3 установили, что если квадратичный функционал

неотрицателен, то сегмент [а, b] не содержит точек, сопряженных с точкой а. Эти два утверждения и доказывают теорему.

Уравнение Якоби можно получить и на основе такого подхода. Пусть у = у(х) — экстремаль, а у(х) + И(х) — проварьированная функция, где h(x) — некоторая функция. Возникает вопрос: каким условиям должна отвечать функция И(х), чтобы проварьированная функция была экстремалью? Подставив у(х) + h(x) в уравнение Эйлера—Лагранжа для исходного функционала (4.14), получим такое уравнение для функции h{x), где у(х) предполагается заданной:

Разложив в ряды каждое из слагаемых и учитывая, что у(х) — решение уравнения Эйлера—Лагранжа, получим следующее уравнение для И(х):

где o(h) — величина первого порядка малости в сравнении с И{х).

Отбросив величины более высокого порядка малости и приведя подобные члены, получим

Но с учетом наших обозначений (4.15)

получаем следующее уравнение:

которое, как видим, совпадает с уравнением Эйлера—Лагранжа (4.16), т. е. вновь получаем уравнение Якоби. Таким образом, мы можем дать и такое определение уравнения Якоби.

0.4.4. Уравнение Якоби — это дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет с точностью до величин выше первого порядка малости разность между двумя бесконечно близкими экстремалями.

Напомним, что в математическом анализе дифференциальное уравнение, которому с точностью до малых выше первого порядка удовлетворяет разность двух бесконечно близких решений некоторого дифференциального уравнения, называют уравнением в вариациях.

Таким образом, уравнение Якоби — это уравнение в вариациях для уравнения Эйлера—Лагранжа. В связи с этим можно дать и такое определение сопряженной точки.

0.4.5. Точка с называется сопряженной с точкой а, если она яштяется предельной для точек пересечения данной экстремали у(х) с близкими экстремалями у(х), исходящими из той же начальной точки, при

Заметим, что в этом определении присутствует совокупность экстремалей. Далее, в разд. 5, на этом пути мы построим теорию поля экстремалей вариационной задачи, которая имеет изящную геометрическую иллюстрацию. Напомним, что основополагающие определения теории поля были даны в п. 2.4.

Теперь мы можем привести сводку необходимых условий слабого экстремума функционала

1. Экстремаль есть решение уравнения Эйлера—Лагранжа:

  • 2. Вдоль экстремали выполнено условие Лежандра fyy >0 при поиске минимума и f, , < 0 при поиске максимума.
  • 3. Сегмент а, b] не содержит точек, сопряженных с точкой а, — условие Якоби.

Приведем пример, показывающий, что в этой совокупности необходимых условий условия Якоби играют такую же важную роль, как и уравнения Эйлера—Лагранжа и условие Лежандра.

Пример 4.2. Пусть имеется функционал

Вычислим fy-y'=1 и найдем уравнение Эйлера—Лагранжа: —у—у"= 0, общее решение которого имеет вид: у(х) = С, si ах + C2cosx (где С, и С2 — произвольные постоянные). Выберем исходя из характера краевых условий частное решение у(х) = CjSinx при д: е е [0, 2л] и вычислим квадратичный функционал (4.4) (где Q = — 1,

Р= 1):

Рассматривая минимум этого квадратичного функционала, видим, что его уравнение Эйлера—Лагранжа совпадает с уравнением для исходного функционала J, а значит, совпадает и решение h(x) = Z^sinx + D2cosx. Приняв здесь Z), = 1, D2 = 0, вновь получим h(x) = sinx при хе [0, 2л]. Но у нас И(2л) = 0, а значит, точка х = 2л является сопряженной с точкой х = 0, и необходимое условие Якоби не выполнено. То есть найденная экстремал ьу(х) не дает слабого минимума.

Подчеркнем, что в примере мы удовлетворяем как необходимому условию — уравнению Эйлера—Лагранжа, так и необходимому усиленному условию Лежандра, но положительной определенности 62У, вообще говоря, нет.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >