Задачи с подвижными границами и негладкие экстремали

Здесь мы рассмотрим негладкие поверхности z(x, у), дающие экстремум, а также тот случай, когда граница ()Q области Q ищется в процессе решения задачи.

Начнем с задачи с подвижными границами, т. е. с нахождения условий, определяющих границу задачи, — условий трансверсальности. Отмстим предварительно, что такая задача включает в себя задачу с неподвижными границами как некоторый частный случай, когда вариация границы равна нулю, т. е. 6(дО.) = 0.

Заметим, что все необходимые условия экстремума (уравнение Эйлера—Лагранжа, условия Лежандра и Вейерштрасса) остаются неизменными, так как они являются локальными (поточечными), и подвижность границы не оказывает влияния[1] на их получение. Поэтому переменность границы мы рассмотрим только в виде ее влияния на первую вариацию исходного функционала бJ. Влияние на вторую вариацию опускаем как менее значимую с позиций наших рассмотрений.

Итак, пусть имеется функционал

при варьировании которого с учетом подвижности границы ()Q получим такое выражение для первой вариации:

где 6Q — вариация площади интегрирования, вид которой приведен на рис. 6.3.

В п. 6.2 мы получили такое выражение для вариаций 6f, Ьр и бq

Тогда первый интеграл в формуле (6.21) может быть представлен в виде

К вариации границы области в пространственной задаче

Рис. 6.3. К вариации границы области в пространственной задаче

где контурный интеграл вычисляется вдоль границы области. При условии, что контур описывается уравнением у = у(х), этот интеграл может быть записан в виде

Напомним, что в (6.22) вариации bz, бр и bq вычисляются при постоянных значениях независимых переменных х и у, и нам необходимо установить связь вариаций с учетом подвижности границ так же, как мы это делали в одномерном случае в п. 2.2. Выразив bz на границе dQ с учетом ее подвижности, получаем с точностью до членов высших порядков:

где символ |(v у) означает, что стоящая при нем величина вычисляется на неподвижной границе.

Тогда для интеграла (6.23) получаем такое выражение:

где посредством вариаций бх и бу подвижность границ учтена в явном виде.

Далее, рассматривая второй интеграл в выражении первой вариации (6.21), получаем такое выражение:

которое поясняет рис. 6.3, откуда, во-первых, следуют выражения для бесконечно малого приращения вектора радиуса dr вдоль контура rJQ и его вариации б г:

относительно некоторой точки В исходного контура и точки В, варьированного контура. Во-вторых, с точностью до членов высших порядков затененную площадь криволинейного параллелограмма со сторонами в виде векторов dr и Ьг можно записать в виде скалярного произведения:

где к — орт оси Z-

Или, раскрывая векторное и скалярное произведения в таком «компактном» виде, получим

В выражении (6.27) у' — угловой коэффициент касательной по контуру 3Q в данной точке В. Таким образом, правая часть соотношения (6.25) для приращения функционала за счет вариации границы принимает такой вид:

Теперь мы можем записать итоговое выражение (6.21) в следующем виде:

Приравнивая нулю построенную таким образом первую вариацию функционала из первого интеграла, получаем уравнение Эйлера—Лагранжа, тогда как второй, связанный с подвижностью границ, принимает вид:

что можно записать в такой компактной форме:

где значения коэффициентов X, Y и Z при вариациях бх, бу и бz, определяемые согласно (6.28), таковы:

Как следствие приравнивания 0 первой вариации (6.28) получаем условие трансверсальности вида

которое должно выполняться для любой системы вариаций дх, бу и бz, согласующихся как с заданными граничными условиями, так и с условиями положения и вида границы области.

Замечание 6.3. Как и для функции одного независимого переменного, можно рассмотреть частные случаи. Пусть, например, граница области должна лежать в плоскости z = const. Тогда бz = О, а 6х и бу свободны, и условие (6.30) принимает вид:

Замечание 6.4. Условия трансверсальности (6.30) могут быть записаны и в иной форме, например, посредством вариации нор-

140

мали к искомому контуру, поскольку второй интеграл в (6.21) может быть записан и в таком виде:

что в ряде случаев оказывается полезным при анализе условий трансверсальности. Пример такого построения приведен в разд. 7.

  • [1] Вместе с тем все эти условия, конечно, зависят от решения уравнения Эйлера—Лагранжа, на характере которого, безусловно, сказываетсявид условий на границе.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >