Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

Введение

Если в предыдущих разделах мы уделяли главное внимание теоретическим основам вариационного исчисления, то в этом разделе важнейшей задачей является демонстрация значимости изучаемого предмета для практического использования. И здесь возникает некоторая терминологическая проблема, которая часто озадачивает начинающих. Дело в том, что само понятие управление в русском языке преимущественно связывается с работой по регулированию поведения некоторого устройства или системы во времени[1]. Например, управление самолетом, автомобилем или, наконец, вычислительной машиной. При этом естественно проводить управление наилучшим (оптимальным) образом с точки зрения какого-либо критерия. Нос позиций инженерного анализа возникающие задачи существенно шире, поскольку мы хотим рассматривать не только управление объектами во времени, но и изучить возможности «управления» проектированием материалов, машин, систем и процессов для получения их наилучших характеристик. А здесь мы должны строить наилучшие формы, структуры и конфигурации проектируемых изделий или их элементов, т. е. проводить оптимизацию свойств этих форм, структур и конфигураций элементов с позиций некоторого критерия, характеризующего работу изделия.

Эти обстоятельства указывают на то, что термин оптимизация, вообще говоря, предпочтительнее термина оптимальноеуправление'. Вместе с тем сегодня сам термин управление претерпел определенную трансформацию, и под управлением понимают всю совокупность факторов, позволяющих требуемым (втом числе наилучшим) образом изменять гамму свойств рассматриваемого объекта или системы. В этом смысле управлять можно формой тел в задачах механики, структурой групп молекул в нанотехнологиях или распределениями электромагнитных полей в электротехнике и т. д.

По этим причинам далее мы считаем термины оптимизация и оптимальное управление равнозначными, вкладывая в них одинаковый смысл.

Теперь нужно ответить на вопрос: почему методы оптимизации выделяют в отдельную дисциплину, а не изучают как раздел вариационного исчисления? Ответ на этот вопрос, а также примеры решения задач оптимизации представляют основное содержание данного раздела. Подчеркнем, что главное внимание здесь уделяется именно примерам. Заметим: всегда нужно понимать, что объект должен быть управляемым, т. е. выбранное упра&ление должно существовать[2] [3] и приводить к цели А цель — это какой-либо критерий качества поведения системы, т. е. функционал, а функционалы, как мы видели ранее, могут быть очень разнообразными. Например, в задачах оптимального быстродействия функционал — время окончания процесса Т.

т. е. в терминах вариационного исчисления это типичный функционал задачи Майера.

В задачах оптимальной аэродинамики в качестве функционала могут выступать подъемная сила, сопротивление при движении тел в той или иной среде или какая либо иная характеристика нашего объекта. В аэродинамике это в самом общем случае некоторые интегралы, зависящие, например, от полей давления. Аналогично в задачах оптимизации формы упругих тел такими критериями могут быть значения критических нагрузок, частоты собственных колебаний, вес конструкции или другие характеристики.

Рассмотрим характерные примеры постановок задач с типичными функционалами.

  • [1] Исторически понятие управление восходит к задачам автоматического регулирования объектов, где необходимо с помощью некоторыхвоздействий не выходить за определенные границы работоспособностисистемы. Типичным примером является регулятор Уатта: как только число оборотов паровой машины чрезмерно росло, заслонка подачи парачастично перекрывалась.
  • [2] Термин оптимальное управление понимается нами двояко: во-первых, как совокупность методов решения оптимальной задачи; во-вторых, как конкретная оптимальная функция (или их совокупность),дающая экстремум, что, впрочем, всегда видно из контекста.
  • [3] Таким образом, мы вновь приходим к необходимости исследованияпроблем существования решений вариационных задач и задач теорииоптимального управления в тех или иных пространствах функций, чтоявляется предметом математики.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>