Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Развитие теории оптимального управления и ее связь с вариационным исчислением

Задачей оптимизации назовем задачу построения такого оптимального управления, при котором функционал задачи достигнет экстремума при удовлетворении всем ее ограничениям. К последним мы относим как ограничения на функцию (функции) управления, так и все соотношения, описывающие состояние рассматриваемой системы или объекта. В задачах оптимизации это, как правило, дифференциальные уравнения (обыкновенные или в частных производных) или интегро-дифференциальные уравнения, т. е. с позиций вариационного исчисления это задачи Лагранжа, Лагранжа—Больца или Майера.

Возвращаясь к понятию управления, заметим, что оно практически в каждой оптимальной задаче содержит какие-либо ограничения на область допустимых значений, причем, как правило, эти области замкнуты и ограничены. Последнее обстоятельство не позволяет нам рассматривать классические вариации, как это было показано ранее (см. рис. 1.2), допуская только односторонние вариации, т. е. такие, которые не выводят допустимые функции из заданной ограниченной области.

Далее мы рассмотрим ограничения на управляющие функции и следующего вида:

или более общее:

где величины Umin и Umax, как правило, заданы.

Приведенные ограничения (7.1) и (7.2) носят естественный характер, поскольку при оптимизации формы проектируемых изделий на сами эти формы или конфигурации элементов всегда накладываются те или иные ограничения[1]. Действительно, на практике мы, как правило, чем-либо ограничены, технологически или технически, либо ограничены наши ресурсы. Например, рули самолета или судна в основном могут эффективно работать только в диапазоне ± 90°.

Вспоминая содержание предыдущих разделов видим, что в классическом вариационном исчислении нет способов учета ограничений вида (7.1) и (7.2). К тому, как обойти эту трудность, мы вернемся далее, а сейчас обратимся к рассмотренным в п. 3.4 общей задаче Лагранжа, задачам Лагранжа—Больца и Майера. Важнейшими ограничениями в них были соотношения-связи, содержащие производные:

Для упрощения дальнейших рассмотрений предположим, что в нашем случае m=nw что наши уравнения разрешимы относительно[2] у':

Уравнения (7.3) — это уравнения, которым должны удовлетворять экстремали в нашей задаче. Далее мы будем называть их уравнениями состояния. Конечно, к этим уравнениям необходимо добавить и соответствующие краевые условия. Но возникает вопрос о связи экстремалей-состояний вариационной задачи с управлениями, о которых шла речь ранее. При этом эти управления по своей природе также являются экстремалями, отличающимися от экстремалей — функций состояния — своими дифференциальными свойствами[3] и ограничениями вида (7.1) и (7.2). Итак, возникает вопрос: в чем же принципиальная разница между экстремалями-управлениями и теми экстремалями, которые описывают состояние изучаемой системы согласно уравнениям (7.3)? В рассматриваемом случае такими важнейшими отличиями наряду с описанными ограничениями вида (7.1) и (7.2) являются отсутствие производных управлений в постановке задачи[4] и наличие управлений в правых частях уравнений (7.3), которые при условии, что в задаче имеется, например, т управляющих функций и(., принимают вид:

Теперь вернемся к вопросу о том, как включить неравенства- ограничения (7.1) и (7.2) в систему ограничений вариационной задачи. Очевидно, что для этого достаточно перейти от неравенств к равенствам. Ф. Валентайн (F. A. Valentine) [1] предложил для этого ввести вспомогательные управляющие функции. Так, например, введя такие вспомогательные функции vx и v2, мы можем переписать неравенства (7.1) и (7.2) в виде

Смысл введенных таким образом вспомогательных управлений v, и v2 очевиден: они «компенсируют» отклонения упрааляющих функций от их значений на ограничениях и равны нулю, когда функции-управления «выходят» на ограничения.

  • [1] В связи с этим заметим, что сегодня рассматривают, в частности,такие классы задач оптимизации: конструкционную, топологическую итехнологическую. При этом каждый класс задач рассматривает проблемы определенного круга и обладает своими математическими подходами.
  • [2] Таким образом, мы предполагаем, что соответствующий функциональный определитель исходной системы уравнений отличен от нуля.
  • [3] Здесь мы подчеркиваем, что управления, как правило, не принадлежат классам функций С и С1.
  • [4] То есть управляющие функции могут входить, в частности, в функционал задачи и в изопериметрические и краевые условия.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>