Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры задач оптимизации

В этом пункте рассмотрим несколько характерных задач оптимизации, главным образом из области механики. При этом важнейшим принципом отбора задач являлась как их механическая, так и математическая наглядность. Как это ни удивительно, такими задачами оказываются задачи теории смазки.

Пример 7.1 (задача Рэлея теории смазки). Рэлей (Lord Rayleigh) [2] сформулировал следующую задачу о наилучшей форме профиля плоского подшипника скольжения с малосжимаемой смазкой. Требуется найти экстремум[1] функционала — подъемной силы смазочного слоя: где L — длина подшипника (которую, переходя к безразмерным величинам, выберем равной 1); р — избыточное давление (по отношению к внешнему, например атмосферному, давлению р0), определяемое линейным уравнением Рейнольдса [3]:

в котором h(x) — функция профиля подшипника[2].

От уравнения (7.8) перейдем к системе уравнений первого порядка вида (7.4) путем введения функции ?), пропорциональной расходу газа:

Граничными условиями к уравнениям (7.9) служат равенства избыточного давления нулю на границах области:

Очевидно, что управляющей функцией в этой задаче должна служить геометрия профиля подшипника h(x), поскольку, будучи входящей в коэффициенты уравнения (7.8), функция h{x) определяет поле давления в подшипнике, и ее изменение влечет за собой изменение избыточного давления р(х). Так как размерное значение функции h{x) не может принимать значения, меньшие, чем hmin, то для ее безразмерного значения получаем такое ограничение:

Теперь мы можем сформулировать задачу оптимизации: среди непрерывных функций р(х), постоянных величин Q, являющихся решениями краевой задачи (7.9)—(7.10), и кусочно-непрерывных функций h(x), удовлетворяющих ограничению (7.11), найти те, которые дают минимум функционала (7.7).

Выпишем систему необходимых условий экстремума поставленной задачи, прежде всего заменив ограничение-неравенство (7.11) ограничением-равенством, введя вспомогательную функцию v(x):

Построим расширенную функцию/для функционала (7.7), включающую в себя всю систему ограничений задачи:

где Х(), X, и Х2 — функциональные множители Лагранжа. Составим вспомогательный функционал:

Выпишем систему уравнений Эйлера—Лагранжа функционала (7.12), учитывая, что варьирование проводится поp,Q,h и г:

Заметим, что в задаче существует первый интеграл (см. п. 1.4), поскольку функционал (7.7) не зависит явно отх

Форма оптимального профиля И определяется уравнениями (7.14), второе из них дает такие три варианта:

Для h > 1, отвечающего ^ = 0, из первого уравнения (7.14) для тех областей, где 7., ^ 0, получаем И =—30/2, что позволяет вычислить величину dp/dx = 4/270[3], которая в таких областях оказывается положительной. При этом И = 1 в силу граничных условий1 обязано отвечать dp/dx = 1 + 0 < 0, откуда необходимо следует 0 < О и 1 <|0. Таким образом, профиль И(х) кусочно-постоянный, принимающий значения h =—30/2 и h = 1. Вопрос о числе участков с такими значениями И определяется рассмотрением поведения множителей Лагранжа Х0 и Хр т. е. решениями уравнений (7.13). Краевые условия к этим уравнениям даются условиями трансверсальности, которые поучительно рассмотреть в данной задаче. Например, на левом конце промежутка л: = 0:

Здесь с учетом условия (7.10) 6/>(0) = 0, а в силу того, что границы области заданы, также получаем 6х(0) = 0, что приводит в конечном итоге к тому, что условия трансверсальности выполнены на каждом из концов промежутка. Условия Эрдманна—Вейерш- трасса в точках возможного разрыва производной dp/dx (а значит, в согласии с (7.9) и функцией h) приводят к соотношениям причем само число точек разрыва неизвестно. Напомним, что символом [•]_ обозначена разность величин, вычисленных слева и справа от точки разрыва функции h. Отсюда в силу независимости вариаций положения точек разрыва Ьх и значений вариаций давлений Ьр в этих точках получаем такую систему соотношений:

которые показывают, что величины в квадратных скобках непрерывны в точках разрыва функции h.

Наконец, неравенство Вейерштрасса сильного минимума функционала Е= А/—6/> 0, где, как мы помним, Д/и б/— соответственно полная и первая вариации расширенной функции /, имеет в нашем случае вид:

где чертой обозначено допустимое значение производной. Отсюда получаем, что величинаdp/dx при оптимальном решении должна иметь минимальное значение, т. е. естественно разыскивать решение, при котором это произведение отрицательно на всем промежутке [0, 1]. Тогда для концевых точек

Ранее было указано, что в точках разрыва функции И терпит разрыв и производная dp/dx, откуда в силу непрерывности X, в таких точках согласно (7.17) необходимо должно быть X, = 0. Но в таком случае согласно второму уравнению (7.13) величина dkjdx также обращается в нуль в этих точках. Выбор экстремальной функции р(х) при поиске минимума функционала (7.7) естественно проводить среди положительных на сегменте [0, 1 ] функций.

При этом в точке х = 0 должно выполняться условие dp/dx > 0, т. е. здесь И > 1. Участок с h > 1, отвечающий росту давления, продолжается до некоторой точки х = с, в которой для выполнения граничных условий dp/dx скачком меняет знак и начиная с которой И = 1. Это точка, в которой выполняются условия Эрдманна—Вей- ерштрасса (7.17) и в которой, как уже указывалось, X, = сГк/dx = 0. Оптимальные функции hwp приведены на рис. 7.1.

Заметим, что решение задачи после приведенного качественного анализа не завершено, так как требует нахождения значений расхода Q и положения точки с — точки разрыва профиля И. Задача о наилучшей форме профиля была рассмотрена Рэлеем в 1918 г., а ее решение в представленном здесь виде было осуществлено почти через 50 лет Мэдеем (С. J. Maday) [4] в 1967 г. Приведем численную процедуру, которая показывает многообразие подходов к численному решению задач оптимизации.

Шаг 1. Выбираем начальные значения величин для точки разрыва профиля с и величины Q.

Ш а г 2. Для заданного Q интегрируем второе уравнение (7.9) слева направо при h = —3Q/2 и справа налево при h = 1. Получаемую при этом разность давлений Ар =р(с+)—р(с~) минимизируем путем итерационного подбора значения Q.

Решение задачи Рэлея

Рис. 7.1. Решение задачи Рэлея

Ш а г 3. Вычисляем значение функционала (7.7) для данного положения точки разрыва профиля с и сравниваем с предыдущим значением. Если значение функционала для данного с улучшается в сравнении с предыдущим его значением, то меняем с. Продолжаем этот процесс, пока функционал не достигает экстремума, т. е. при очередном шаге его значение не улучшается.

Шаги 2 и 3 повторяем до тех пор, пока не выполнятся требования точности вычислений.

Пример 7.2 (периодическая задача Рэлея теории смазки для радиального подшипника). Чтобы показать все многообразие практически важных задач оптимизации, приведем пример еще одной задачи из области теории смазки [5], рассмотренной автором.

Будем разыскивать геометрию профиля замкнутого одномерного радиального подшипника, который сообщается с внешней средой только на бесконечно удаленных торцах. Ось ротора подшипника радиуса R совпадает с началом декартовых координат (х, у), а угол 0 отсчитывается в направлении против часовой стрелки. Ротор вращается с угловой скоростью ф в направлении против часовой стрелки. Предположим, что линия действия нагрузки W фиксирована и совпадает с осью у. Как и в предыдущем случае, поле давления в смазочном слое описывается линейным уравнением Рейнольдса[4] (7.8), которое, как и ранее, запишем в виде

Краевые условия к уравнениям (7.20) включают в себя условие периодичности

и условие газообмена с внешней средой на бесконечно удаленных торцах, имеющее вид:

Следует отметить нестандартный[5] характер краевой задачи с условиями (7.21) и (7.22). Функционалом задачи является у-компонснта главного вектора сил давления F:

тогда какх-компоненту, исходя из условий равновесия, приравняем к нулю:

Будем разыскивать минимум функционала (7.23) при условии, что толщина смазочного слоя, как и ранее, должна удовлетворять неравенству

Таким образом, вновь получаем задачу Лагранжа вариационного исчисления, которая сводится к нахождению кусочно-непрерывной периодической[6] функции //(0), непрерывной периодической функции p(Q) и постоянной Q, удовлетворяющих ограничениям (7.20)— (7.22), (7.24) и (7.25) и дающих минимум функционала (7.23).

Поступая как и ранее, заменим неравенство (7.25) ограничением-равенством у = И -1 - v[6] = 0, где v(0) — вспомогательная функция. Построим расширенную функцию/, включающую в себя систему ограничений задачи:

где X,,, X, и X, — функциональные, а Х3 и Х4 — числовые множители Лагранжа.

Составим вспомогательный функционал:

Уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид: Условия трансверсальности имеют вид:

В силу условий периодичности (7.21) они приводят к следующим периодическим краевым условиям для уравнений (7.26):

Условия Эрдманна—Вейерштрасса

с учетом непрерывности давления приводят к системе соотношении

где, как и ранее, символом [•] * обозначена разность величин, вычисленных слева и справа от точки разрыва функции /?.

Рассмотрение системы необходимых условий начнем с краевой задачи (7.26)—(7.28) для уравнений Эйлера—Лагранжа. Интегрируя второе из уравнений, получим (7.26)

где С — постоянная интегрирования.

Выполняя первое из краевых условий (7.28), найдем

откуда следует, что Х3 = 0.

Таким образом, влияние интегрального условия (7.22) ограничено краевой задачей для уравнения Рейнольдса и не распространяется на необходимые условия вариационной задачи.

Выражение для градиента давления в согласии с уравнениями (7.20) и условиями периодичности (7.21) имеет вид:

С учетом ограничений (7.25) получаем Q < 0 и Q > 1. Таким образом, в тех частях области, где h = 1, dp/dQ = 1 + Q < 0, и давление в таких областях не может возрастать. Аналогично, в областях с h > 1 градиент давления неотрицателен только при h+Q > 0, и здесь давление не убывает.

Как и в примере 7.1, форма оптимального профиля для h > 1 с учетом выражения для градиента давления (7.30) определяется соотношением

Итак, оптимальный профиль вновь реализуется в кусочно-ступенчатой форме с И = —3(20)_| или h = 1. Число ступеней и их чередование определяются решением уравнений Эйлера—Лагранжа (7.26) и неравенством Всйерштрасса, которое, как и в примере 7.1, с учетом предыдущего приводится к виду X]dp/dQ>Xldp/dQ и показывает, что при оптимальном решении произведение Xfdp/dQ минимально, откуда естественно разыскивать решение с разными знаками функций X, и dp/dQ на промежутке [0, 2л]. Поскольку согласно (7.26) функция X, имеет вид: X, = /IcosG + 5sin0 (где Л и В — постоянные величины), на промежутке [0, 2л] X, имеет не более двух смен знака. При И > 1, как и в примере 7.1, dp/dQ =4(27(X2)-1 >

> 0, поэтому здесь функция X, должна быть отрицательной. Аналогично, при h = 1 dp/dQ = 1 + Q < 0, и функция X, должна быть положительной. При этом в силу условий Эрдманна—Вейерштрасса (7.29) в точках разрыва оптимального профиля h для множителя Лагранжа X,, как и ранее, необходимо выполнение условия X, = 0.

Число ступеней у радиального периодического подшипника не более двух, и поле давления состоит из двух областей — зоны нагнетания с h > 1 и области h = 1, где давление падает до исходного значения. Обозначая точки разрыва профиля И соответственно 0,,

02 и 03 = 0, + 2л, запишем выражения для поля давления:

где в согласии с условием периодичности р(0,) =/?(©, + 2л).

Величину/7(0,) определим, используя граничное условие (7.22) — условие газообмена с внешней средой:

Итак, вариационная задача вновь оказалась сведенной к задаче параметрической оптимизации, где в качестве параметров выступают значение расхода Q, положение точек разрыва 0, и 02, а также давление /7(0,).

Задача имеет два решения. Первое, которое естественно назвать симметричным, имеет такие параметры: 0, = 0, 02 = л, 03 = 2л, Q = —1,1184, при значении функционала J = 0,4736. Второе, оптимальное, решение, имеет параметры: 0, = —31°, 02 = 21Г,

03 = 329°, Q = —1,208, при значении функционала J = 0,5308.

Результаты решения задачи представлены на рис. 7.2, где слева приведен профиль Л(0), а справа — поле давления />(©) с разряжением в верхней части и сжатием в нижней части подшипника.

Представленные решения двух одномерных (плоских) задач имеют не только теоретический интерес, демонстрируя эффективность применения вариационного исчисления для решения тех-

Оптимальный радиальный подшипник, сообщающийся с внешней средой на бесконечно удаленных торцах

Рис. 7.2. Оптимальный радиальный подшипник, сообщающийся с внешней средой на бесконечно удаленных торцах: а — оптимальный профиль; б — поле давления

нических задач, но, что не менее важно, и позволяют получить верхние оценки для важнейшей характеристики рассмотренных узлов — их подъемной силы. Таким образом, мы получаем то максимальное значение подъемной силы, которое принципиально может дать рассматриваемая механическая система. Но, конечно, наиболее интересно решение пространственных задач, к рассмотрению которых мы и переходим.

Пример 7.3 (пространственная вариационная задача Рэлея теории смазки)[8]. Пусть Q — смазываемая поверхность (рис. 7.3), которая совпадает с плоскостью (х, у) ортогональных координат (х, у, z) и имеет кусочно-гладкую границу дО. (далее ограничимся замкнутой квадратной областью ?2 = {(х,у):0<х<1, |у|<±0,5}). Предполагаем, что эта поверхность движется с постоянной скоростью Vв направлении оси х. Как и в примере 7.1, функционал задачи выберем в виде К постановке пространственной задачи

Рис. 7.3. К постановке пространственной задачи

Так же, как и в рассмотренных примерах, ограничимся мало- сжимаемой смазкой, в рамках которой уравнение Рейнольдса [3] принимает следующий вид:1

Краевые условия к уравнениям (7.32), как и прежде, примем в виде равенства избыточного давления нулю на границе dQ:

Прежним остается и ограничение на управляющую функцию геометрии профиля:

в котором нижняя грань определяется нормировкой Amin.

  • [1] Следуя традициям вариационного исчисления, будем искать минимум функционала.
  • [2] Величины р, И также являются безразмерными, отнесенными соответственно к атмосферному давлению р0, минимальному зазору hmin.Предполагаем, что скольжение гладкой поверхности, совпадающей сплоскостью (х, у), осуществляется с постоянной скоростью V в направлении осих, как это будет показано далее (см. рис. 7.1).
  • [3] Поскольку при h > 1 давление может только нарастать, то необходимо иметь участки, где оно должно падать, выравниваясь до давлениявнешней среды, что возможно только при h = 1.
  • [4] В силу того, что характерная толщина смазочного слоя /zmin мала всравнении с радиусом ротора R и их отношение порядка 10_3—Ю-4, кривизной поверхности ротора можно пренебречь.
  • [5] Действительно, искомая функция профиля /г(0) входит в краевоеусловие (7.22), с чем мы не сталкивались при рассмотрении постановокклассических вариационных задач.
  • [6] Периодичность функций И{х) также подразумевается.
  • [7] Периодичность функций И{х) также подразумевается.
  • [8] При знакомстве с предметом этот пример и пример 7.4 можно опустить.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>