Определение параметров многономенклатурных поставок при ограничении на капитал и учете затрат на хранение в зависимости от площади.

В некоторых случаях показатели многономенклатурных моделей с независимыми поставками и совместными ограничениями не могут быть найдены аналитически и находятся только при помощи численных методов.

В общем случае данные методы можно разделить на прямые и непрямые^[1]. Прямые методы оперируют непосредственно с исходными задачами условной оптимизации, учитывают ограничения в явном виде. Непрямые методы сводят исходную задачу нелинейного программирования к последовательности задач безусловной оптимизации (т.е. задач без ограничений) некоторых вспомогательных функций. При этих методах ограничения исходной задачи учитываются в неявном виде.

Для решения упомянутой выше задачи обратимся к непрямым численным методам решения задач нелинейного программирования. С помощью метода неопределенных множителей Лагранжа сведем исходную задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации, после чего решим ее с помощью метода Ньютона.

Пусть исходное уравнение имеет вид

Оптимальные значения Qo, определяются из решения системы

Из первого уравнения системы (7.35) следует, что

Подставим Q_ы из (7.36) во второе уравнение системы (7.35)

Из уравнения (7.37) невозможно выразить неопределенный множитель Лагранжа ср, следовательно, нельзя получить аналитическое решение задачи. Для отыскания (р необходимо использовать численный метод для решения задач безусловной оптимизации, например, метод Ньютона, представляющий собой итерационную процедуру.

Суть метода состоит в отыскании такого ф, при котором выполняется условие /(ф) = 0. Для этого задают начальное значение ф₀ и находят

ф-ф₍₎ = Дф = - ^. Затем в качестве новой оценки решения уравнения

/( Фо)

У(ф) = 0 рассчитывают ф! =ф₀+Дф. Такой процесс повторяется, и на (п + + 1)-м шаге имеем:

Перепишем уравнение (7.37) в виде функции вида /(ф)

Найдем первую производную этой функции

При подстановке Qo/ (формула (7.36)) в исходное уравнение (7.34) находим минимальные переменные затраты:

где (р — неопределенный множитель Лагранжа, вычисленный с помощью итерационной процедуры (метода Ньютона).

? Разбор ситуации

Найдем оптимальные показатели многономенклатурной модели с независимыми поставками от одного поставщика и совместным ограничением на капитал на основе данных, представленных в табл. 7.6. Затраты на хранение рассчитываются через стоимость аренды площади склада, необходимой для хранения закупаемой партии.

Таблица 7.6

Проверим ограничение на существенность. Для этого рассчитаем оптимальные размеры заказа каждого продукта без учета ограничения на капитал, вкладываемый в запасы:

Тогда общие затраты на приобретение оптимальных партий трех видов продукции будут равны:

Исходные данные для расчетов модели (7.36)

Так как общая стоимость закупаемых партий превышает величину финансовых ресурсов, которые планируется вложить в запасы, то, следовательно, ограничение на капитал является существенным, а найденные партии заказа не являются оптимальными.

Для нахождения оптимальных размеров заказа Q_oi можно воспользоваться формулой (7.36), зависящей от неопределенного множителя Лагранжа ср, значение которого найдем с помощью численного метода. Напомним, что данный метод направлен на поиск такого (р, при котором выполняется условие /(ф) = 0, т.е. уравнение (7.38) равно 0.

Зададим начальное значение множителя Лагранжа ф₀=0. Найдем новую оценку множителя Ф1=Фо+Дф> где Дф найдем из выражения

Ф1 “Фо = Аф =—используя формулы (7.38) и (7.39):

/'( Фо)

Далее в качестве нового начального значения множителя Лагранжа примем полученное выше значение ф_1? таким образом, новое значение Фо = -0,123194. Результаты промежуточных вычислений, направленных на поиск оптимального множителя Лагранжа, представлены в табл. 7.7.

Таблица 7.7

Промежуточные расчеты по поиску оптимального значения множителя

Лагранжа ф

Рассчитаем оптимальные партии заказа по формуле (7.36) при ф₀ = = -0,199077:

Очевидно, что полученное значение меньше ограничения на капитал (65000 у.е.).

Определим остальные оптимальные показатели модели:

• количество поставок:

• интервал между поставками:

• минимальные переменные затраты (формула (7.40)):

• суммарные затраты, включающие затраты на приобретение запасов в плановом периоде Д:

• [1] Трифонов А. Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения //Центр компетенций MathWork. URL: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_2/index.php.