ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Метод комплексных амплитуд

Введение. Методы анализа резистивных цепей постоянного тока сводятся к решению систем алгебраических уравнений. Поведение динамических цепей с емкостными и индуктивными элементами описывается более сложными системами, содержащими интегро-дифференциальные (или дифференциальные) уравнения. Излагаемый в этой главе метод комплексных амплитуд базируется на преобразовании интегро-дифференциальных уравнений в линейные алгебраические уравнения с переменными в виде комплексных величин. Поэтому метод позволяет использовать для анализа стационарного (установившегося) режима цепей при гармоническом воздействии рассмотренные выше методы для резистивных цепей.

Задача анализа. В основе метода комплексных амплитуд лежат свойства гармонических колебаний: при алгебраическом суммировании (сложении или вычитании), дифференцировании и интегрировании гармонических колебаний с одинаковыми частотами их форма сохраняется, изменяется лишь амплитуда и начальная фаза результирующего колебания. Указанные свойства гармонических колебаний позволяют свести описание цепи в виде интегро-дифференциальных уравнений к уравнениям, для решения которых используется алгебра комплексных чисел. При гармоническом воздействии задача анализа установившегося режима состоит в определении комплексной амплитуды, содержащей сведения об амплитуде и начальной фазе отклика (чем и обусловлено название метода).

В теории цепей метод комплексных амплитуд получил широкое распространение благодаря:

=> потребности проведения анализа при гармоническом воздействии, поскольку гармонические колебания используются для питания различных электротехнических устройств, для передачи информации,

60

в качестве тестовых сигналов при наладке и испытаниях электронной аппаратуры и т.п.;

=> простоте проведения анализа и выполнения расчетов с использованием рассмотренных выше методов для резистивных цепей постоянного тока;

=> возможности использования результатов анализа на воздействия произвольных периодических и непериодических сигналов (с помощью рядов и интеграла Фурье по принципу наложения).

Обоснование и сущность метода. В параграфе 1.3 было показано, что систему топологических и компонентных уравнений для определения интересующей реакции можно свести к одному интегро-дифференциальному уравнению. Такое описание динамических цепей является наиболее полным и общим. Для обоснования метода комплексных амплитуд воспользуемся уравнением для параллельного колебательного контура (рис. 1 _уа)

полагая, что на цепь воздействует ток

Решение уравнения (1) будем искать в виде Представим ток (2) и напряжение (3) в комплексной форме

После подстановки (4) в (1) и приравнивания коэффициентов при ехр(/'со/) и ехр(-/соО’ получаем систему из двух уравнений

которые перепишем в следующем виде:

Полученные выражения (5), (6) являются аналогами дифференциального уравнения цепи на рис. 1 ,а> при этом первому уравнению в (5) соответствует схема замещения на рис. 1Д Из (6) следует, что для определения U и (p_t достаточно одного из уравнений, после чего по формуле (4) можно перейти к мгновенному значению напряжения (3).

• 61
• а) б)

Рис. 1. Схема параллельного колебательного контура (я) и ее комплексное представление (б)

Таким образом, сущность метода комплексных амплитуд состоит:

=> в переходе от мгновенных значений напряжений и токов (2), (3) к их изображениям в комплексной форме (4): /(/) —» /; u(t) —» U;

=> в составлении уравнений (5), (6) и их решении относительно искомых комплексных амплитуд 0. Для рассматриваемого примера из (6) находим 0 = U ехру(<р> + Фс) = II| Y |х ехру*(ф/ - Фг);

=> в обратном переходе от изображений к мгновенным значениям (3): U —> u(t)

Теперь перейдем к непосредственному изложению метода комплексных амплитуд.