Правило множителей Лагранжа (с закрепленными концами и фиксированным временем).

Если допустимая пара (и(?),х(()) является решением задачи оптимального управления (9.24), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (9.25), (9.27).

Дальше в основном будем использовать уравнение Эйлера- Лагранжа в форме (9.27). В соответствии с правилом множителей Лагранжа, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (9.24а), (9.246) и (9.27) при краевых условиях (9.24в).

Условия Вейерштрасса-Эрдмана.

Уравнения Эйлера-Лагранжа получены при предположении, что управление u(t) является непрерывной функцией, а траектория х(?) гладкая на интервале Однако правило множителей Лагранжа остается справедливым и в том случае, когда u(t) принадлежит классу кусочно непрерывных функций, а х(?) — классу кусочно гладких функций. Если оптимальное управление u(t) имеет разрыв первого рода в каких- либо точках, то оно само и соответствующая ему траектория х(?) должны удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В точках разрыва управления, которые называются угловыми, должны выполняться условия [3]

где индексы — и + обозначают левый и правый пределы соответствующих функций. Условия (9.28) называются условиями Вейергит- расса-Эрдмана.

Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера-Лагранжа линейно и однородно, и эти уравнения не изменятся, если все множители умножить на одно и то же постоянное число. Поэтому один отличный от нуля постоянный множитель Лагранжа можно принять равным минус единице. Условимся в неособом случае (гро Ф Ф 0) принимать гро — — 1* Дальше, если особо не оговаривается, будет подразумеваться, что имеет место неособый случай.

Как отмечалось, уравнения Эйлера-Лагранжа являются необходимым условием: любое решение задачи оптимального управления (9.24) является экстремалью, т. е. удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, но не любая экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, является решением задачи (9.24). Но если решение задачи существует и экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то, очевидно, эта экстремаль и будет решением.

Пример 9.1. Решить задачу поворота вала двигателя на угол 1 рад с последующей остановкой за 10 с при минимальном расходе энергии без учета момента сопротивления (ис = 0). Эта задача математически формулируется следующим образом:

Решение. Ясно, что задача имеет физический смысл, т. е. имеет место неособый случай. Поэтому, как мы условились, полагаем тро = = -1. Составим гамильтониан (см. (9.26)):

Уравнения Эйлера-Лагранжа (9.27) принимают вид Эта система имеет решение

Подставив полученное выражение для управления в уравнения объекта и решив их, получим

Из краевых условий имеем

Отсюда находим С = 3/125, Сг = 3/25, Сз = 0, С4 0. Оптимальное управление и оптимальная траектория имеют вид

Если требуется, чтобы после поворота вала двигателя на угол 1 рад он не вращался, нужно положить и = 0 при t ^ 10.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >