ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЕ С ВНУТРЕННИМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

Стационарное температурное поле

На рис. 6.1 изображена пластина толщиной 2а. В направлении осей ох и оу размеры пластины значительно превышают толщину, так что пластину можно считать неограниченной. В пластине имеются внутренние источники тепла, их объемная плотность равна qv. Известна также теплопроводность пластины А.. Полагаем, что теплопроводность является функцией температуры, а объемная плотность внутренних источников тепла является функцией координаты z.

На поверхностях пластины известны условия теплообмена — это граничные условия первого, второго или третьего рода. Требуется получить аналитические выражения для температуры и плотности теплового потока и на их основе сформировать каскадную схему замещения для расчета стационарного температурного поля в пластине.

При данных условиях стационарное температурное поле в пластине описывается одномерным уравнением теплопроводности:

Если на поверхностях пластины температуры одинаковы, кривая температуры обладает четной симметрией, а кривая плотности теплового потока — нечетной симметрией относительно оси пластины.

Рис. 6.1

Для решения поставленной задачи воспользуемся теми же принципами, что и в задачах о расчете электромагнитного поля:

  • 1. Расчетную область представим в виде совокупности п параллельных полос, каждая к-я из которых имеет ширину hk, и теплопроводность А*. Значение теплопроводности А* для каждой к-й полосы неизменно, но величина А* неизвестна. Объемная плотность внутренних источников тепла для к-й полосы постоянна и равна qvk.
  • 2. Для каждой расчетной полосы запишем общее решение стационарного уравнения теплопроводности и выражение для плотности теплового потока.
  • 3. Приведем полученные решения к стандартным уравнениям четырехполюсника (Ак, Вк, Ск, Dk) и сформируем для него эквивалентную трехэлементную T-Q-схему замещения.
  • 4. Исходя из условий непрерывности температуры и вектора плотности теплового потока на границах смежных расчетных полос, сформируем нелинейную каскадную схему замещения для всего исследуемого объема.
  • 5. Для имеющейся нелинейной каскадной схемы запишем систему уравнений Кирхгофа и рассчитаем ее как систему нелинейных алгебраических уравнений. В качестве расчетного инструмента на этом этапе удобно использовать средства компьютерной математики.

На рис. 6.2 в исследуемой области (0-я расчетная полоса zl2 (в дальнейшем индекс к для упрощения записи опущен). Ширина полосы h-z2-z1. На границах полосы обозначены температуры и плотности теплового потока: при z = z1T = T1, qx = qu; при z = z2T = T2, q, = q)2.

Поскольку теплопроводность и плотность внутренних источников тепла — величины постоянные в элементарной расчетной полосе, преобразуем дифференциальное уравнение (6.1):

Решение уравнения (6.2) для элементарной расчетной полосы сформируем так, чтобы оно содержало два слагаемых и при z = zx обращалось в нуль одно слагаемое, а при z = z2 — другое:

Рис. 6.2

Плотность теплового потока в элементарной полосе:

Температуры Тг и Т2 на границах полосы (при z = z} и z = z2) равны:

Решая совместно (6.5) и (6.6), определим постоянные Сь С2: Плотности теплового потока на границах полосы равны:

Преобразуя выражения (6.9) и (6.10), получим систему уравнений

Системе уравнений (6.11) может быть поставлена в соответствие система уравнений активного симметричного четырехполюсника (рис. 6.3), в котором аналогом напряжения является температура, а аналогом тока — плотность теплового потока.

Сопротивления Zx, Z2 и источник q0 в схеме замещения четырехполюсника определяются из режимов холостого хода и короткого замыкания:

Рис. 6.3

Если внутренние источники тепла отсутствуют, четырехполюсник ведет себя как плоская стенка при граничных условиях

h

первого рода с термическим сопротивлением —, что полностью соответствует теории теплопередачи1. ^

Поперечное сопротивление четырехполюсника бесконечно велико, так как коэффициент при Г2 во втором уравнении системы (6.11) равен нулю. Поэтому источником в четырехполюснике является источник тока, а не источник ЭДС.

Последовательно с источником q0 можно включить любое сопротивление Z3 конечной величины, и это никак не скажется на распределении плотностей теплового потока в схеме замещения. Вместе с тем, от величины сопротивления Z3 зависит разность потенциалов Г0 на выводах источника.

Потребуем, чтобы эта разность потенциалов была равна средней температуре в элементарной расчетной полосе:

1 Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача : учеб, пособие для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. М. : Энергия, 1975.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для левого контура в схеме замещения (рис. 6.3) имеет вид

Из (6.15) определяется неизвестное сопротивление Z3:

Плотность теплового потока на оси симметрии пластины равна нулю. Поэтому при формировании каскадной схемы входные зажимы четырехполюсника, примыкающие к оси симметрии, необходимо оставить разомкнутыми.

К зажимам, примыкающим к поверхности пластины, следует подключить источник, определяемый граничными условиями первого, второго или третьего рода.

При граничном условии первого рода на поверхности пластины поддерживается постоянная температура Тс. Это граничное условие моделируется с помощью источника ЭДС, равного Тс и направленного снизу вверх (рис. 6.4, а).

При граничном условии второго рода на поверхности пластины поддерживается постоянный тепловой поток плотностью qx0. Это граничное условие моделируется с помощью источника тока, равного qA0 (рис. 6.4, б).

Граничное условие третьего рода описывает конвективный теплообмен на поверхности пластины:

где Тс — температура поверхности пластины; Тж — температура омывающей жидкости; а(Т) — коэффициент теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи может быть как постоянной величиной, так и функцией температуры.

Граничное условие третьего рода моделируется с помощью источника ЭДС Тж и включенного с ним последовательно сопротивления ZK0HB (рис. 6.4, в). Сопротивление ZKOHB — это величина, обратная коэффициенту теплоотдачи:

Рис. 6.4

При расчете нелинейной каскадной схемы замещения необходимо учитывать, что нелинейные сопротивления являются функцией не напряжения или тока, а потенциала относительно общего провода цепи, так как именно потенциал является аналогом температуры в каскадной схеме. Поэтому система уравнений Кирхгофа должна быть записана так, чтобы неизвестными в ней были потенциалы. Нелинейные сопротивления в системе уравнений будут зависеть от средней температуры слоя Т0, определяемой выражением (6.14).

Приведем пример составления системы уравнений Кирхгофа для трех расчетных слоев и граничного условия третьего рода на поверхности (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Система состоит из пяти независимых уравнений. В качестве неизвестных в системе уравнений выступают потенциалы:

Нелинейная система уравнений по законам Кирхгофа имеет следующий вид:

После решения системы уравнений (6.19) относительно неизвестных потенциалов определяются температуры на границах расчетных полос:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >