Законы распределении СИ

Законы распределения СП различают по числу охватываемых сечений: одно-, двух-, ..., «-мерные. Одномерный закон распределения относится к одному сечению, является функцией двух аргументов. По аналогии с СВ можно записать:

Одномерный закон распределения не является исчерпывающей характеристикой СП. Двухмерный закон распределения охватывает два сечения и является функцией четырех аргументов:

Далее нужно рассматривать ipex- и /7-мерные законы распределения. Как видно уже из (3.104), громоздкость их быстро нарастает. В инженерной практике ограничиваются одномерными, иногда двухмерными законами распределения.

Основные характеристики случайного процесса

Первой и важнейшей характеристикой СП x(t) является математическое ожидание МО, вокруг средней функции которой происходит разброс реализаций.

Математическим ожиданием СП х(1) называется неслучайная функция Л7[л'(/)] = тх(1), которая при любом значении аргумента I равна МО соответствующего сечения СП.

Центрированный СП — отклонения значений СП от МО:

По аналогии с СВ для СП рассматриваются начальные и центральные моменты. Начальный момент к-го порядка СП х(t) - МО СВ в k-й степени соответствующего сеченая СП:

Центральный момент к-го порядка СП X(t) - МО центрированной СВ в к-й степени соответствующего сечения СП:

В торой цен тральный момент называю т дисперсией СП:

Формулу (7.108) можно по аналогии с СВ преобразовать к виду

Дисперсией СП Х(1) называют неслучайную функцию Dx(t), которая при любом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения СПХ{1).

Диеперсию и МО СП X{t) определяют из одномерного закона распределения по аналогии с СВ.

Среднее квадратическое отклонение (СКО). СП X(/) - ото арифметическое значение корня квадратного из дисперсии Dx(t):

Размерность стг(т) равна размерности СП X(t).

Характеристики МО, дисперсии, СКО являются важными, но не исчерпывающими, так как определяются одномерным законом распределения. На рис. 7.13, а и б показаны два типа СП примерно с одинаковыми МО и дисперсиями. Однако несложно видеть, что внутренняя структура этих СП различна.

Вис. 7.13. Типы случайных процессов

Степень линейной зависимости двух СВ определяется ковариацией (корреляционным моментом). Аналогичную характеристику можно установить и для СВ в сечениях СП t и /'-X(t) и X(t'). Для этих сечений ковариация равна

Функцию Kx(t,t') называют корреляционной функцией (к.ф.) СП X(t) и определяют следующим образом: «Корреляционной функцией СП X{t) называется неслучайная функция Kx(t, t'), которая при каждой паре аргументов t и

/' равна ковариации СВ X(t), X(t')». Свойства корреляционной функции СП X(t) определяются следующим образом.

1. Если t = t', то к.ф. равна дисперсии СП:

2. К.ф. симметрична относительно своих аргументов:

3. К.ф. является положительно определенной, т. е.

где a{t) - произвольная функция аргумента С, В - произвольное подмножество множества Т.

К.ф. Kx(t,t') — поверхность, симметричная относительно вертикальной плоскости Н, проходящей через биссектрису координатного угла /0/', как показано на рис. 7.14. Линия пересечения плоскости Н с поверхностью Kx(t,t') лежит не ниже плоскости tOt', так как эта ее аппликата равна дисперсии СП. При t = t' ковариация может быт ь как положительной, гак и отрицательной.

Корреляционная функция СП

Рис. 7.14. Корреляционная функция СП

К.ф. Kx(t,t') характеризует степень линейной зависимости СП в сечениях СП и разброс их значений.

Для оценки только тесноты линейной зависимости определяют нормированную корреляционную функцию (н.к.ф.):

Свойства н.к.ф. определяются следующим образом:

  • 1) при t = t rx(t, 0 = 1;
  • 2) по модулю нс превосходит единицы: |гд.(/, С)| < 1;
  • 3) симметрична относительно аргументов: rx(t, t') = rx(t', t).

Для определения к.ф. и н.к.ф. требуется знание двухмерного закона распределения СП, тогда

Корреляционную функцию проще определять для э.с.ф.

В теории случайных процессов (теории случайных функций) рассматриваются различные типы СП: марковские, нестационарные, стационарные с эр- годическими свойствами и др. Последний тин используется в моделях СТЭ, для него можно наиболее просто получить основные характеристики на основе модельного или натурного эксперимента.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >