Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Группы преобразований

Пример 1.6. У отображения множества X в себя может не быть обратного относительно операции композиции отображений. Но если рассмотреть множество взагшно однозначных отображений множества X на себя (биекций), то оно относительно операции композиции отображений образует группу, которая обозначается S(X). Отображение <р X —> X называется взаимно однозначным, если для любого элемента х € X существует ровно один Х2 6 X такой, что р: Х2 Х. Отображение -1: X —» X, задаваемое правилом p~l: .тх Х2, будет обратным к в группе S(X).

Многие важные примеры групп - это группы биекций с дополнительными условиями. Их мы будем называть группами преобразований.

Пример 1.7. Двио1сения пространства (преобразования, сохраняющие расстояние между точками), образуют группу относительно операции композиции отображений. Ясно, что композиция движений — движение, и обратное к движению - также движение.

Пример 1.8 (матричные группы). Матрицы с ненулевым определителем образуют группу относительно операции матричного умножения. Эта группа обозначается GL(n) (п — размер матриц). Она имеет прямое отношение к группам преобразований, поскольку матрицами размера п х п записываются линейные преобразования п-мерного пространства, а матричное умножение соответствует композиции преобразований.

Выделяя матрицы специального вида, получаем новые примеры матричных групп. В частности, если ограничиться ортогональными матрицами, удовлетворяющими условию ХГ = = Х~1 (транспонированная матрица совпадает с обратной), то получим группу 0(п), которая соответствует движениям n-мерного пространства, оставляющим на месте начало координат (ортогональная группа).

Мы ничего не сказали об элементах матриц. Это еще одна степень свободы при выборе матричных групп. От элементов матриц требуется немногое — их нужно складывать и умножать по обычным законам арифметики. Например, можно рассматривать группы матриц с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами (важно понимать, что это совершенно разные группы!). Позже мы рассмотрим другие примеры алгебраических систем, допускающих такие операции. Пока будем считать (если не оговорено противное), что элементы матриц — действительные числа.

Пример 1.9 (группа перестановок или симметрическая группа). Это важный частный случай группы преобразований. По определению, Sn = S(X), где X = {1,2,..., п}. Таким образом, перестановки эго взаимно однозначные отображения множества {1,2,... ,п} на себя.

Перестановки можно записывать в виде таблицы

порядок столбцов которой несущественен.

В таких обозначениях легко написать произведение перестановок (композицию отображений):

Заметьте, что произведение 7Г о а — это перестановка, которая получается применением перестановки <т, а затем перестановки 7г. Такой порядок соответствует принятому порядку записи композиции функций: (7Г о а)(г) = 7г(<т(г)) = 7r(f,) = V{.

Единица группы перестановок соответствует тождественному отображению

Обратная перестановка

Группа перестановок Sn некоммутативна при п ^ 3. Вот простой пример, когда произведение перестановок трех элементов зависит от порядка множителей:

Перестановку также можно задать, указав ее цикловое разложение:

Внутри каждой пары скобок числа переставляются циклически: n(i) = 7.2, тг(г2) = гз, ..., 7г(й-) = i. Цикловое разложение определено с точностью до циклических сдвигов чисел внутри скобок. Часто используется сокращенная цикловая запись перестановки, при которой циклы длины 1 пропускаются. Тождественная перестановка при такой сокращенной записи выглядит как пара скобок: (). Цикловая запись более компактна. Вот, скажем, как выглядит формула (1.1) в цикловой записи:

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>