Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Факторгруппы

Прежде чем давать формальное определение факторгруппы, объясним, что хотелось бы получить. Переход от множества к классам эквивалентности этого множества по некоторому отношению эквивалентности называется факторизацией. Мы хотим факторизовать группу по подгруппе, т. е. перейти к множеству классов смежности по этой подгруппе. В случае произвольной подгруппы факторизация по классам смежности переводит группу в более общий объект - действие группы на множестве. По иногда это действие можно представить как действие некоторой новой факторгруппы на себе самой сдвигами. Другими словами, в этом случае можно рассматривать классы смежности по подгруппе как элементы некоторой группы. Конечно, мы теряем при факторизации какую-то информацию о группе, но зато полученная факторгруппа будет проще, изучать ее легче и т. д.

Оказывается, что факторизация дает группу только в случае нормальных подгрупп. Рассмотрим вначале пример, когда факторизация не дает группу.

Пример 1.56 (продолжение примера 1.22). Составим таблицу действия группы S3 на смежных классах по подгруппе Н = {(12)) (смежные классы разделены линиями):

Как видим, разные элементы одного смежного класса действуют на смежные классы по-разному. Поэтому из такого действия нельзя получить бинарную операцию на множестве смежных классов.

Теперь рассмотрим случай нормальной подгруппы Я о G. Пусть G/H — совокупность смежных классов G по Я. Обозначение подсказывает, что мы «делим» G на Я. Отсюда еще одно название нормальной подгруппы — нормальный делитель. Чтобы получить группу, на множестве G/Н необходимо ввести операцию. Сделаем это таким образом: (хН) • (уИ) = = (хуН).

Прежде всего нужно проверить, что данное выше определение корректно. Другими словами, произведение двух классов смежности должно не зависеть от выбора представляющих классы элементов х, у. (В противном случае никакой операции на G/Н мы бы не получили.)

Пусть х' = xh, у' = yli2. Тогда (х'Н)-(у'Я) = (xhiyl^H = = (ху1гз)Н = (хуН) (в среднем равенстве мы использовали нормальность подгруппы Н).

Теперь докажем, что множество G/Н относительно введенной операции является группой.

  • 1) Ассоциативность очевидна, так как выполняется в группе G.
  • 2) Поскольку (хН)(еН) = (еН)(хН) = (.тЯ), подгруппа Н (точнее, смежный класс еИ, но это и есть сама подгруппа) является единичным элементом.
  • 3) Класс х~1Н — обратный к хН относительно введенной операции: (х~х Н)(хН) = (х~1хН) = (еН).

Итак, G/Н относительно операции умножения смежных классов является группой. Она называется факторгруппой G

но подгруппе H. Заметим, что если G конечна, то и все ее подгруппы конечны, поэтому

Элемент факторгруппы G/H обычно задается указанием представителя х ? G класса смежности хН. Чтобы не путать элементы группы и элементы факторгруппы, используются различные обозначения: (хН) = х = [ж] = {#}.

Рассмотрим примеры факторгрупп.

Пример 1.57. G/G = {е}. Мы забываем про группу всё, кроме того, что в ней есть единица.

Пример 1.58. G/{e} = G. Здесь мы всё запомнили о группе. Естественно, у нас возникают и промежуточные случаи.

Пример 1.59. Возьмем в аддитивной группе целых чисел Z подгруппу 3Z <з Z. Построим факторгруппу Z/3Z. Во-первых, в этой группе есть нулевой элемент 0 (здесь естественно использовать аддитивную запись):

далее берем смежный класс, порожденный элементом 1, то же самое для элемента 2 Е Z

Получаем факторгруппу Z/3Z = {0,1,2} с операцией сложения, определенной следующей таблицей (в сокращенной форме):

Теперь мы можем забыть, что классы смежности — это множества чисел, и работать с группой из трех элементов. (Эта группа называется группой вычетов по модулю 3, и мы ее уже один раз построили на с. 17)

В продолжение этого примера заметим, что если G = (а) - циклическая группа, то факторгруппа G/H по любой подгруппе II < G будет также циклической: ясно, что aV = (а)п.

Пример 1.60 (продолжение примера 1.41). Имеют место изоморфизмы (G х H)/(G х {е}) = Я, (G х Н)/({е) х Н) = G. Читателю предлагается построить эти изоморфизмы самостоятельно.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>