Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Абелевы группы

В этом разделе мы полностью опишем структуру конечно порожденных абелевых групп. Группа А называется конечно порожденной, если она порождается конечным множеством своих элементов: А = (В), В < ос.

При работе с абелевыми группами удобнее использовать аддитивную запись. Поэтому (а также по более важным причинам) прямые произведения абелевых групп называются пря- мыми суммами.

Дадим определение прямой суммы абелевых групп, переписав с необходимыми изменениями в обозначениях определение прямого произведения из примера 1.35.

Прямой суммой абелевых групп А[, Ач называется группа А] 0 Ач, элементами которой являются все пары (ад,#2), где ад 6 Ai, Х2 € Л2. Групповая операция в А 0 Л2 — это покомпонентное выполнение операций в А и Ач'. (ад,3:2) + + (2/1.2/г) = (ж, + уъ Х2 + 2/2 )?

Аналогично определяется прямая сумма нескольких групп Ль Л2, Лп, которая обозначается А 0 Л2 0 ... 0 Ап. Это множество наборов (ад,..., агп), где ад € Ль а групповая операция на нём — покомпонентное сложение

Проверка групповых аксиом не составляет труда: нулевым элементов группы Ai ф А2 ф ... 0 Ап является набор (Oi,..., 0Г,); ассоциативность непосредственно вытекает из ассоциативности операций в компонентах; элемент, противоположный элементу (жх,... ,жп), записывается как (—жх,..., —жп).

Прямая сумма п экземпляров одной и той же группы А обозначается Аи. Мы уже встречали прямые суммы абелевых групп в примерах: группа из примера 1.5 есть не что иное, как а. группа из примера 1.21 и была обозначена как Ш2.

Основные примеры абелевых групп — циклическая группа Сп порядка п и циклическая группа Z бесконечного порядка, которая есть просто аддитивная группа целых чисел.

Теорема 1.69. Любая конечно порожденная аб&нева группа изомо]фна прямой сумме циклических групп.

Замечание 1.70. Не все абелевы группы конечно порождены. Например, группа рациональных чисел Q относительно сложения не является конечно порожденной. Рассмотрим подгруппу {<а, а2,..., а„), порожденную конечным набором рациональных чисел ах, а2, .ап. Любой элемент этой группы выражается как линейная комбинация чисел а* с целыми коэффициентами:

Поэтому знаменатель несократимой записи ж не превосходит произведения знаменателей аг, которое мы обозначим N. Поэтому число (N 4- I)-1 не принадлежит группе (ах, а2,..., ап).

Для построения изоморфизма из теоремы 1.69 удобно выделить структуру прямой суммы «внутри» группы А. Для этого введем новые понятия суммы подгрупп и прямой суммы подгрупп.

Абелева группа А = Ах + А2 -!-••• + Ап, порожденная подгруппами А], А2, ..., Ап называется суммой подгрупп (или разлоэюепием группы на подгруппы). Если при этом для любого элемента aА существует единственный набор таких

ai ? Ai, что а = а + а2 Н-----Ь ап, то группа А + А2 Ч-----1- Ап

называется прямым разложением группы на подгруппы (или прямой суммой).

Утверждение 1.71. Если А = А]_ + А2 + • • • 4- Ап — прямое разложение абелевой группы, то А = А ф А2 ф ... Ф Ап.

Доказательство. Искомый изоморфизм имеет вид

В силу определения прямого разложения отображение ip корректно определено и взаимно однозначно. Проверим, что ip сохраняет операцию: если а = а + а2 + • • • 4- о*,, где aiAi, а 6 = 61 + 62 + • • • + Ьп, где hi G то а + Ь = («х + 6х) + +{а>2 + Ь2) + • • • + (вп + 6П) (здесь использована коммутативность), т. е. (а + 61, а2 + 62,...) = (ах,..., ап) + + (6Ь...,6П) = <р{а) + <р(Ь). ?

Замечание 1.72. В случае неабелевых групп существование разложения в произведение подтруни не гарантирует, что группа изоморфна прямому произведению подгрупп. Пусть II < G, К < G, IIПК = {е} и НК = G. В этом случае говорят, что группа разлагается в полупрямое произведение подгрупп Я и К (обозначение G = Н X К). Для полупрямых произведений не выполняется аналог утверждения 1.71. Например,

(сравни с замечанием 1.68).

Теперь разберемся, какие соотношения могут быть между порождающими конечно порожденной абелевой группы А = = (&1,02,...»оп). Поскольку группа коммутативна, любое соотношение можно записать в виде

объединяя все слагаемые вида аг. Соотношение (1.12) будем задавать набором с = (cj,...,cn) его коэффициентов. Если

Сх,..., с* — соотношения, то xiC Н-----fa?* с*, Xj € Z, — также

соотношение, которое мы будем называть следствием соотношений С,..., Ck (здесь -1- обозначает покомпонентную сумму целочисленных наборов). Поэтом}' множество всех соотношений между порождающими группы А является подгруппой R группы Zn. Поскольку каждый элемент группы А можно записать в виде целочисленной комбинации порождающих, то неудивительно следующее утверждение.

Утверждение 1.73. Во введенных выше обозначениях А = Z n/R.

Пример 1.74. Пусть А = СП1 0 СЛ2 0 ... 0 СПг. Обозначим через аг порождающий элемент группы Сщ. Множество {а,-} порождает А. По определению прямой суммы

тогда и только тогда, когда с* = УхЩ, уг Е Z. Значит, соотношения образуют подгруппу D в Zn, содержащую те наборы из п целых чисел, в которых г-й элемент набора делится на пг. Смежный класс по подгруппе D состоит из множества наборов, имеющих заданный набор остатков от деления на щ, поэтому факторгруппа Zп/D изоморфна Cni 0CTl2 0.. .0СПг.

Доказательство утверждения 1.73. Пусть элемент а е А двумя способами выражен через порождающие:

Тогда

т. е. с—с'R. Разумеется, верно и обратное. Поэтому каждому аА можно сопоставить класс смежности р(а) группы Zn по подгруппе Я, который состоит из тех с = (cj,... ,сп), для которых

Отображение р является искомым изоморфизмом. Складывая соотношения (1.13), убеждаемся, что р сохраняет операции. Единственным прообразом класса с + R является ci ах Н----+ спап. ?

Следующий шаг описание подгрупп группы Zri.

Лемма 1.75. Пусть R < Zn. Тогда R = Zm, 0 ^ т ^ п.

Подгруппой Z0 будем по определению считать подгруппу, состоящую из одного нуля.

Доказательство. Индукция по п. Основание индукции п = 1 было уже разобрано выше (см. вывод формулы (1.5) на с. 32).

Теперь предположим, что утверждение леммы доказано при всех п' < п. В подгруппе R < Ъп выделим подгруппу

Поскольку Д0 изоморфна подгруппе Zn_1 (равные нулю последние компоненты можно опустить), то по предположению индукции Д = Ък, 0 ^ к ^ п — 1.

Если До = Д, утверждение леммы доказано.

В противном случае рассмотрим подмножество Rn целых чисел, состоящее из последних компонент элементов г € Д. Это множество является подгруппой Z, поэтому имеет вид (d) (формула (1.5)). Выберем г = (п,Г2,... ,rn-i,d.

Докажем, что Д = До + (г) — прямое разложение. Для любого г' € Д найдется нс более одного целого числа t, для которого rf — tr G До- Поскольку последние компоненты всех элементов Д кратны d, такое число t обязательно найдется. Тогда г' — tr G До, поэтому г' представляется в виде суммы элемента До и элемента из подгруппы (г), и это представление однозначно определено.

Итак, по утверждению 1.71,

где 0 ^ т ^ п. ?

Отметим очевидное следствие из доказанной леммы.

Следствие 1.76. Для любой конечно порожденной абелевой группы существует такой конечный набор соотношений Ci,..., с*, что всякое соотношение с между порождающими является следствием С],..., с*.

Итак, из утверждения 1.73 и леммы 1.75 вытекает, что любую конечно порожденную абелеву группу с п порождающими элементами можно задать целочисленной матрицей размера т х га, т ^ га,

Любой матрице М указанного вида соответствует группа

Некоторым матрицам соответствует одна и та же группа. Чтобы описать матрицы, которые задают изоморфные группы, введем понятие элементарного преобразования матрицы.

Элементарное преобразование целочисленной матрицы это одно из следующих преобразований:

  • • прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же целое число;
  • • прибавление к элементам одного столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и го же целое число;
  • • перестановка строк;
  • • перестановка столбцов;
  • • умножение элементов некоторой строки или столбца на -1.

Лемма 1.77. Пусть М' получена из М последовательностью элементарных преобразований. Тогда А(М) = А(М').

Доказательство. Так как отношение изоморфизма траязи- тивно, лемму достаточно проверить для матриц, связанных одним элементарным преобразованием. Очевидно, что перестановка строк не влияет на Л(М), равно как и умножение на —1.

Перестановка столбцов приводит к перестановке порождающих, что дает изоморфную группу (изоморфизм переставляет компоненты, см. пример 1.35).

Рассмотрим прибавление кратного строки. Пусть

Тогда Cl = с - tc-2, поэтому <сь с2,..., ст) = {с, с2,..., сш).

где с'п = Сц + tci2, t е Z. Обозначим порождающие группы А(М) через а,а2,..., an, а порождающие группы А(М') через а,а2,..., о!п. Построим такой изоморфизм А(М) —> А(М'), что

Поскольку должен сохранять операции, образ любого элемента А(М) определен условиями (1.14):

Проверим, что формула (1.15) корректно задает отображение из А(М) в А(М'). Пусть

т. е. х = xiai + х2а2 + • • • + хпап = yxai + у2а2 + • • • + упап = У в группе А. Тогда

поэтому

так что <р(х) = <р(у).

Обратное отображение задается формулами корректность которых доказывается аналогично. ?

Для доказательства теоремы 1.69 мы применим следующую теорему.

Теорема 1.78 (нормальная форма Смита). Целочисленную матрицу М размера гп х п, т ^ п, .можно привести элементарными преобразованиями к такому виду, что все элементы вне главной диагонали равны 0, а для диагональных элементов тц выполняется условие: тц делит m.y+iyi+iy

Доказательство. Если матрица состоит из одних нулей, то утверждение теоремы справедливо.

Пусть в М есть ненулевые элементы. Будем применять к М элементарные преобразования до тех пор, пока можно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевого элемента матрицы. Затем перестановками строк и столбцов (и умножением строк на —1) добьемся, чтобы тц стал положительным элементом с минимальной абсолютной величиной среди элементов матрицы.

Докажем, что все ненулевые элементы матрицы делятся на тц. Пусть тц не делится на тц. Разделим тц на тц с остатком: тц = ерпц + г. Если вычесть из г-й строки первую строку, умноженную на q, то т'п = г, т. е. мы уменьшили минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы. Аналогично рассуждаем для элементов первой строки.

Пусть теперь не делится на тпц, т.е. mTJ = qmn 4- г, О < г < тц. Как уже доказано, тц = ашц, mj = Ьтц. И в этом случае элементарными преобразованиями матрицы можно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы. Вычтем из г-й строки первую строку, умноженную на (а — 1), а затем из j-ro столбца вычтем первый столбец, умноженный на q — 1 )Ь. После этих преобразований элемент матрицы будет равен г, как

показывают вычисления (приводим только минор матрицы, образованный первой и г-й строкой и первым и j-м столбцом):

Поскольку все ненулевые элементы матрицы делятся на гац5 можно элементарными преобразованиями сделать равными нулю все элементы первого столбца и первой строки, за исключением тпц (вычитая подходящие кратные первой строки или первого столбца). После этого матрица приобретает вид

где все ненулевые элементы матрицы М' делятся на гац, а размер М' меньше, чем у исходной матрицы.

К матрице М' можно применить такие же преобразования, какие были применены к М и т.д. В конце концов получим требуемую форму матрицы. ?

Доказательство теоремы 1.69. Пусть А — конечно порожденная абелева группа. Представим ее в виде А = А(М). В силу леммы 1.77 и теоремы 1.78 можно считать, что матрица М диагональная. Если М = 0, то А = Z”. В противном случае обозначим ненулевые диагональные элементы матрицы М через nt, 1 ^ г ^ к, соответствующие столбцам М порождающие элементы обозначим через а*. Соотношение вида =

= 0 является следствием соотношений из диагональной матрицы М тогда и только тогда, когда щ Х{. Последнее означает, что хidi = 0. Это означает, что разложение любого элемента группы в сумму порождающих однозначно. Поэтому, пользуясь утверждением 1.71, получаем, что группа А изоморфна прямой сумме циклических групп (а,). ?

Анализ структуры конечных абелевых групп можно продолжить. Для этого необходимы некоторые факты из элементарной теории чисел. В главе 2 эти факты будут выведены из более общей теории. Заметим, что доказательства этих фактов не используют утверждений из данного раздела, гак что порочного круга в рассуждениях можно не опасаться.

Из следствия 2.43 вытекает, что если р, q — взаимно простые числа, то Cpq = Cp®Cq. Поэтому можно построить такое разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических, в котором все слагаемые — группы порядка рк где р — простое число (примарные компоненты).

Оказывается, что набор порядков примерных компонент определен однозначно.

Теорема 1.79. Любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме циклических групп порядков рк, рпростое, причем количество примерных компонент порядка рк одинаково для любого разложения в прямую сумму.

Доказательство. Первая часть теоремы, как уже сказано, вытекает из теоремы 1.69 и следствия 2.43. Осталось доказать вторую часть. В этом доказательстве мы используем основную теорему арифметики об однозначности разложения целого числа на простые множители (следствие из теоремы 2.39, доказываемой в следующей главе).

Итак, пусть имеется конечная абелева группа Л. Ее можно разложить в прямую сумму примарных компонент:

Выберем одно из чисел р, и докажем, что числа ktJ не зависят от выбора разложения (1.16). Повторяя это рассуждение для всех простых делителей порядка группы, получим отсюда утверждение теоремы. Для простоты обозначений полагаем

Pi = р, kij = kj, Si = S.

Возведение в степень п: х пх является гомоморфизмом абелевой группы, так как п(х--у) = пх--пу. Обозначим через Л(п) образ А при гомоморфизме возведения в n-ю степень. Порядок группы |Л| = pa°q, где р q. Из основной теоремы арифметики следует, что число а0 определено однозначно. Обозначим at = А^Р fl'|, 1 ^ t < а<). В определении чисел at не использовалось никакого разложения вида (1.16). Поэтому, если мы выразим kj через а*, то тем самым докажем, что числа kj также не зависят от выбора разложения.

Докажем, что

Каждый элемент х € (Л] © Лг)^ имеет вид (11x1,71x2), где ХА, х2 ? А2. Отображение а: ж ?-> (пяьпзд) задает искомый изоморфизм. Прежде всего нужно проверить корректность. Если пх = пу, где х = х + Х2, у = у г + У2> х,уА, Х22 ? Л-2, то по определению прямой суммы

nxi = nx2, ra/i = nj/2- Таким образом, отображение cx корректно определено (не зависит от выбора представителя класса смежности). Проверим, что а сохраняет операцию:

Из определения ясно, что а является взаимно однозначным отображением.

По индукции можно доказать, что соотношение (1.17) выполняется и для прямой суммы нескольких слагаемых.

Чтобы выразить at через kj. найдем образы циклических групп при гомоморфизмах возведения в степень.

Если п делится на т, то для любого х Е Ст выполнено пх = 0 (порядок элемента делит порядок группы). Значит, в этом случае Ст^ — единичная группа. С другой стороны, если п взаимно просто с га, то для любого х Е Ст выполнено пх Ф 0. Это означает, что ядро гомоморфизма возведения в степень в этом случае нулевое и С= Ст.

Пусть п = рг,т = рк. Если t < А;, то Cm ^ = Cpk-t (кратные рг имеют вид ргиа, 0 ^ и < рк~г 1, а порождающий Ст). Если t ^ к, го Ст'* — единичная, так как п делит порядок группы.

Из разложения (1.16) и изоморфизма (1.17) получаем

Порядок группы равен произведению порядков прямых слагаемых. Поэтому получаем систему уравнений

из которой kj однозначно выражаются через at.

?

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>