Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Тела и поля, максимальные идеалы

Введем еще два ачПгебраичсских понятия: тело и поле.

Тело — это такое кольцо, ненулевые элементы которого образуют группу относительно умножения, т. е. выполняются дополнительные свойства:

  • 1) существует единичный элемент относительно умножения 1, для любого другого элемента а выполнено а-1 = 1-а = а;
  • 2) для а ф 0 существует обратный элемент а"1, для которого а-1 ? а = а - а~1 1.

Отсюда следует разрешимость уравнения а х = b при а ф 0.

Утверждение 2.21. В теле нет делителей нуля: из ab = О следует а = О или 6 = 0.

Доказательство. В любом кольце а-0 = 0 (утверждение 2.4). Значит, у 0 нет обратного. Но если а Ф 0, 6 Ф 0, то у ab есть обратный 6-1а . ?

Поле — это коммутативное тело. Другими словами, ненулевые элементы поля образуют относительно умножения абелеву группу. Более подробное определение поля таково: полем называется множество F с двумя бинарными операциями (сложение и умножение), которые удовлетворяют следующим свойствам:

F1: Относительно сложения F является абелевой группой.

F2: Относительно умножения F* = Я{0} является абелевой группой. (Здесь 0 обозначает нулевой элемент относительно сложения.)

F3: Аксиома дистрибутивности: а(Ь + с) = ab + ас.

Обратите внимание, что аксиомы поля позволяют выполнять арифметические операции аналогично тому, как это делается с числами. И неудивительно: рациональные, действительные и комплексные числа дают самые простые и самые важные примеры полей. Но этими примерами возможные поля далеко не исчерпываются. Один из важных способов построения полей состоит в переходе от коммутативного кольца к кольцу классов вычетов по модулю некоторого идеала.

Как же выбрать идеал так, чтобы кольцо классов вычетов по этому идеалу было полем?

Для этого нам потребуется еще одно понятие — максимальный идеал. Идеал / называется максимальным в кольце Я, если не существует такого идеала /' Ф Я, что / С V С Я.

Теорема 2.22. Кольцо классов вычетов R/I коммутативного кольца с единицей есть поле тогда и только тогда, когда Iмаксилшльный идеал.

Доказательство. Коммутативное кольцо является полем тогда и только тогда в нём разрешимы уравнения ах = 6, а ф 0.

Пусть I максимальный идеал. Рассмотрим уравнение

а b — произвольный элемент из кольца Я//, т. е. класс вычетов 6 4- /, b ? Я. Докажем, что такое уравнение разрешимо.

Проверим, что множество Г = {(г • а) + i г € R,i € /} является идеалом. Дяя этого достаточно доказать, что разность двух элементов остается в этом множестве и произведения любого элемента этого множества на произвольные элементы кольца остаются в этом множестве:

Следующий шаг: I С /'. Действительно, для элемента г € / имеем представление в виде 0 • а + г. Почему это включение строгое? В /' есть элемент 1 • а + 0 = а ? I (условие а Ф б означает просто-напросто, что а ? /). Следовательно, Г = Я, т. е. любой элемент кольца, в том числе и Ь, представим в виде Ь = г • а + г. В некотором смысле мы нашли явное решение уравнения (2.8): х = г. Этим доказана достаточность.

Доказательство необходимости несложно, по это рассуждение часто вызывает некоторое непонимание. Поэтому проведем его максимально подробно. Пусть разрешимы любые уравнения вида (2.8). Нужно доказать, что I максимальный идеал.

Что означает разрешимость уравнения (2.8)? В точности разрешимость сравнения ах = Ь (mod /), которая равносильна по доказанному выше утверждению 2.17 условию ах — Ь ? /.

Рассмотрим такой идеал /', что I С Г. Выберем элемент а такой, что а € Г и а /. Поскольку ах - Ь € / С /' и а € /', то ах ? /'. Поэтому (идеал замкнут относительно вычитания) b ? V. Поскольку Ь — произвольный элемент кольца Я, приходим к выводу, что V = Я. ?

Эта изящная теорема, легко и просто доказываемая, позволила в свое время осуществить гигантский прорыв, поскольку с ее помощью строится огромное количество объектов, в которых можно решать линейные уравнения.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>