Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Задачи

  • 2.1. Выяснить, какие из следующих множеств являются кольцами (но не полями) и какие полями относительно указанных операций. (Если операции не указаны, то подразумеваются сложение и умножение чисел.)
  • а) целые числа Z;
  • б) четные числа;
  • в) целые числа, кратные данному числу d (рассмотреть в частности, случай d = 0);
  • г) рациональные числа Q;
  • д) действительные числа R;
  • е) комплексные числа С;
  • ж) действительные числа вида х + у/2, где х, у € Z;
  • з) действительные числа вида х + у v^2, где х, у G Q;
  • и) комплексные числа вида п -f mi, где п, т G Z (гауссовы числа);
  • к) множество комплексных чисел вида х + yi, где т, ;
  • л) матрицы порядка п с целыми элементами относительно сложения и умножения матриц;
  • м) матрицы порядка п с действительными элементами относительно сложения и умножения матриц;
  • н) функции с действительными значениями, непрерывные на отрезке [—1,4-1] относительно обычных сложения и умножения функций;

o) многочлены от одного неизвестного х с целыми коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения;

п) многочлены от одного неизвестного х с действительными коэффициентами относительно обычных операций; ч (а Ъ

p) матрицы вида I ^ I с РаЦиональными или действительными а, Ь относительно сложения и умножения матриц;

с) Образуют ли кольцо все тригонометрические полиномы

с действительными коэффициентами? Выяснить то же для полиномов одних косинусов «o + SL—i °к со*>(кх) и одних синусов ao + E?=ia*sin(b;).

  • 2.2. Образует ли кольцо относительно обычных операций сложения и умножения
  • а) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное натуральное число п Е N;
  • б) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное простое число р;
  • в) множество рациональных чисел, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями фиксированного простого числа р;
  • г) числа вида х 4- у<У2, где х, у Е Q (для определенности берется действительное значение корня);
  • д) множество комплексных чисел вида a + + ... +

+ anzn, где ai, а2, ..., ап — действительные числа, a zi, Z2, ..., zn — комплексные корни ??.-й степени из 1;

е) множество комплексных чисел вида где JJ

фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), n,m — целые числа одинаковой четности.

  • 2.3. Образует ли указанное множество матриц кольцо относительно матричного сложения и умножения:
    • а) множество действительных симметрических матриц порядка п;
    • б) множество действительных ортогональных матриц порядка п
    • в) множество верхних треугольных матриц порядка л;
    • г) множество матриц вида , где D — фиксиро

ванное целое число, n, т Е Z;

  • д) множество матриц вида п > где D ~ фиксированный элемент некоторого кольца К; n, m € К;
  • е) множество матриц вида i^pn > гДе D ~~ фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), п, т целые числа одинаковой четности;
  • (Z

W Z ) ’

з) множество вещественных матриц вида

  • 2.4. Образует ли следующее множество функций кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций:
    • а) множество функций действительного переменного на отрезке [а, 6];
    • б) множество функций действительного переменного, имеющих вторую производную на интервале (а, 6);
    • в) множество рациональных функций действительного переменного;
    • г) множество непрерывных периодических функций действительного переменного;
    • д) множество функций действительного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве D СЕ;
    • е) множество функций, определенных на некотором множестве D и принимающих значение в некотором кольце К.
  • 2.5. В множестве многочленов от переменного t с обычным сложением в качестве умножения рассматривается операция суперпозиции, заданная правилом (fog)(t) = f(g(t)). Является ли это множество кольцом относительно заданных операций?
  • 2.6. Образует ли кольцо множество всех подмножеств некоторого множества относительно симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно?
  • 2.7. Является ли кольцом множество трехмерных векторов относительно операций векторного сложения и векторного умножения?
  • 2.8. Доказать, что в кольце с единицей выполняются тождества
  • а) - ab = {—1)а6, б) (—1) • (—1) = 1.
  • 2.9. Какие из колец в задачах 2.1 - 2.7 содержат делители нуля?
  • 2.10. Доказать, что если ак — делитель нуля, то и а — делитель нуля.
  • 2.11. Доказать, что все диагональные матрицы, т. е. матрицы вида

порядка п ^ 2 с действительными коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения матриц образуют коммутативное кольцо с делителями нуля.

  • 2.12. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка п с элементами из некоторого поля делителями нуля являются вырожденные матрицы, и только они. (Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен 0).
  • 2.13. Найти все делители нуля кольца Z 0 Z (определение прямой суммы колец см. на с. 89).
  • 2.14. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.
  • 2.15. Найти обратимые элементы в кольцах с единицей из задач 2.1 - 2.7.
  • 2.16. Доказать, что из равенства ах = ау для данного элемента а и любых элементов х и у кольца следует равенство х = у тогда и только тогда, когда а не является делителем нуля.
  • 2.17. Показать, что матрицы порядка п ) 2 с элементами из некоторого поля, в которых все строки, начиная со второй, состоят из нулей, образуют кольцо относительно матричного сложения и умножения, в котором всякий элемент, отличный от нуля, будет правым делителем нуля. Какие матрицы в этом кольце нс будут левыми делителями нуля?
  • 2.18. Элемент а кольца R называется нильпотептным, если ат = 0 для некоторого натурального т. Для коммутативного кольца R доказать, что а) если а — нильпотентный, то для любого г € R элемент га — также нильпотентный; б) если а, Ь — нильиотентные, то а + b — также нильпотентный.
  • 2.19. Найти все обратимые элементы, все делители нуля и все нильиотентные элементы в кольцах a) Zр«, где р — простое число; б) кольцо верхних треугольных матриц над полем;
  • в) кольцо М2 [К] матриц второго порядка с действительными элементами: г) кольцо всех функций, определенных на некотором множестве S и принимающих значения в поле К.
  • 2.20. Пусть R — конечное кольцо. Доказать, что
  • а) если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы;
  • б) если R имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;
  • в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля;

Верно ли утверждение в) дня колец без единицы?

  • 2.21. Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.
  • 2.22. Пусть R — кольцо с единицей, х, уR. Доказать, что
  • а) если произведения ху и ух обратимы, то элементы х и у также обратимы;
  • б) если R без делителей нуля и произведение ху обратимо, то элементы х и у также обратимы;
  • в) если R конечно и произведение ху обратимо, го элементы х и у также обратимы;
  • г) без дополнительных предположений о кольце R из обратимости произведения ху не следует обратимость элементов х и у.
  • 2.23. Пусть R — кольцо с единицей и S — его подкольцо.
  • а) Верно ли, что 1 € S1
  • б) Может ли подкольцо S иметь единицу е, отличную от 1 — единицы кольца Ю
  • 2.24. Показать, что в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
  • 2.25. Проверить, что равенства 0 • а = а • 0 = 0 можно доказать, не используя коммутативности сложения. Доказать, что в кольце, содержащем хотя бы один элемент с, не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
  • 2.26. Привести примеры колец матриц, в которых есть несколько правых или левых единиц.
  • 2.27. Доказать, что если все элементы коммутативного кольца R имеют общий делитель а, то это кольцо обладает единицей.
  • 2.28. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент а ф Ос одним из следующих свойств:
    • а) а2 = 0;
    • б) для данного целого числа п > 1 выполнены условия ап = 0, ак ф 0, если 0 < к < п.
  • 2.29. Пусть R коммутативное кольцо с единицей и R(x) множество всех формальных степенных рядов J2^=i)ak'xk, акR. Введем обычные операции сложения и умножения рядов:

Показать, что:

a) R(x) — коммутативное кольцо с единицей;

  • б) R(x) содержит подкольцо, изоморфное R;
  • в) если R не имеет делителей нуля, то это верно и для R{x);
  • г) если R ноле, то а^хк тогда и только тогда будет

обратимым элементом кольца R(x), когда ац Ф 0.

  • 2.30. Пусть R — множество всех чисел вида а 4- Ь>/^3, где a, b € Z. Показать, что R — кольцо с единицей, в котором разложение на простые множители существует, но не однозначно. В частности, показать, что в двух разложениях 4 = 2-2 = (1 -I- /—3) • (1 — /—3) сомножители являются простыми, причем 2 не ассоциировано с 1 ± /~3-
  • 2.31*. Доказать, что все конечные суммы 2Гк с целыми коэффициентами at и неотрицательными двоично рациональными Vk относительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, в котором не существует разложения на простые множители.
  • 2.32. Доказать изоморфизм следующих колец: кольца комплексных чисел вида т+г™^; Где D — фиксированное целое число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), п, гп — целые числа одинаковой четности относительно обычных операций сложения и умножения, и кольца
  • 1 ( т п

матриц вида ? ( ^ ^ I, где и — то же самое число, п, т -

целые числа одинаковой четности, относительно матричного сложения и умножения.

  • 2.33. Доказать изоморфизм следующих колец: кольцо ком-
  • ( z w

плексиых матриц вида I 1 относительно матричного

сложения и умножения и кольцо действительных матриц вида

относительно матричного сложения и умножения.

  • 2.34. Пусть R — кольцо, состоящее из всех действительных функций /(.т), определенных на всей числовой прямой, с обычными операциями сложения и умножения, и с — действительное число. Доказать, что: а) отображение <^[/(x*)] = /(с) есть гомоморфное отображение кольца R на поле Е действительных чисел;
  • б) ядро Кег гомоморфизма р есть идеал в R;
  • в) факторкольцо R/ Кег р изоморфно полю действительных чисел Е.

2.35. Алгебра к&атпернионов Н — это множество с операциями покомпонентного сложения

и умножения, которое определяется таблицей умножения «мнимых единиц»

и условием дистрибутивности.

  • а) Сопряженным кватерниону h = а.о + ai + a^j + a^k называется кватернион h = аоai — a^j — a^k. Проверить, что hh действительное число (кватернион вида а 4- Ог -I-0j + Ok). Это число называется квадратом нормы кватерниона.
  • б) Проверить, что кватернионы образуют тело.
  • в) Проверить, что любой кватернион нормы 1 можно записать в виде h = cos(0/2) + sin(0/2)v, где «мнимая часть» кватерниона v является единичным вектором в трехмерном евклидовом пространстве с ортонормированным базисом г, j, к. Кватерниону h сопоставим вращение трехмерного пространства вокруг оси, задаваемой вектором г, на угол в.

Доказать, что построенное соответствие является гомоморфизмом: произведению кватернионов соответствует композиция соответствующих им вращений.

2.36. Доказать, что алгебра матриц вида ^

с действительными а, 6, с, d и г = /—1 изоморфна алгебре кватернионов Н.

2.37. Доказать, что алгебра действительных матриц вида

изоморфна алгебре кватернионов Н.

  • 2.38. Пусть (п) — идеал, порожденный целым числом п > 1 в кольце многочленов с целыми коэффициентами Ъ[х. Доказать, что факторкольцо Ъ[х]/{п) изоморфно кольцу Zn[x] многочленов над кольцом Ъп вычетов по модулю п.
  • 2.39. Пусть R и S — кольца с единицей, <р R S — гомоморфизм.
  • а) Верно ли, что образ единицы кольца R является единицей кольца 5?
  • б) Верно ли утверждение а), если гомоморфизм сюръективен?
  • 2.40. Гомоморфизм <р: R! —» S колец R и S с единицами 1 и е называется унитарным, если ip( 1) = е. Найти
  • а) все унитарные гомоморфизмы кольца Z и кольца многочленов Щх в произвольное кольцо R с единицей;
  • б) все гомоморфизмы кольца Z и кольца многочленов Ъх в произвольное кольцо /?.
  • 2.41. Пусть К — поле и / пробегает множество всех многочленов степени 2 из К[х. Разбить на классы попарно изоморфных колец совокупность колец K[x]/(f), если а) К = С; б) К = R; в) К = Q; г) К — конечное поле.
  • 2.42. Найти с точностью до изоморфизма: а) все кольца с единицей, б) все кольца, у которых аддитивная группа - циклическая порядка п.
  • 2.43. Доказать, что любое гомоморфное отображение поля Р в кольцо R является или изоморфным отображением на некоторое поле, входящее в R как подкольцо (так называемое вложение Р в R), или отображением всех элементов из Р в нуль из R.
  • 2.44. Пусть Z — кольцо целых чисел и R — любое кольцо с единицей е. Доказать, что отображение ip: п ь-> пе есть гомоморфное отображение Z в R. Найти образ (p(Z) кольца Z при этом гомоморфизме.
  • 2.45. Будут ли следующие множества подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных ниже колец:
    • а) множество пЪ чисел, кратных числу п > 1, в кольце Z целых чисел;
    • б) множество Z целых чисел в кольце Ъх) многочленов с целыми коэффициентами;
    • в) множество пЩх] многочленов, коэффициенты которых кратны числу п > 1, в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами;
    • г) множество N натуральных чисел в кольце Z целых чисел;
    • д) множество Z целых чисел в кольце Z [г] целых гауссовых чисел, т. е. чисел вида т + пг с целыми m, п ? Z;
    • е) множество Е чисел а + ai в кольце Z[г] целых гауссовых чисел;
    • ж) множество С чисел вида х(1 4- г) в кольце Z[г] целых гауссовых чисел, где х пробегает всё кольцо Z[г];
    • з) множество Щх многочленов с целыми коэффициентами в кольце Q[x] многочленов над полем Q рациональных чисел;
    • и) множество I многочленов, нс содержащих членов с хк для всех к < п, где п > 1, в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами;
    • к) множество / многочленов с четными свободными членами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами;
    • л) множество I многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Ъх многочленов с целыми коэффициентами.
  • 2.46. При каких п все необратимые элементы кольца Zn образуют идеал?
  • 2.47. Доказать, что пересечение любого множества идеалов коммутативного кольца R является идеалом.
  • 2.48. Доказать, что множество 1$ непрерывных функций, обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве S С [а, Ь], является идеалом в кольце функций, непрерывных на [а, Ь. Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид Is для некоторого 5?
  • 2.49. Доказать, что в кольце Мп(Z) матриц порядка п над кольцом Z подкольцо Мп(2Z) является двусторонним идеалом.
  • 2.50. Доказать, что любой ненулевой идеал в кольце Мп(Z) матриц порядка п над кольцом Z совпадает с МпZ) для некоторого к € N.
  • 2.51. Доказать, что в кольце Mn{R) матриц порядка п с элементами из произвольного кольца R идеалами являются в точности множества матриц, элементы которых принадлежат фиксированному идеалу кольца R.
  • 2.52. Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом.
  • 2.53. Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц порядка 2 с целыми элементами.
  • 2.54. Пусть / и .7 — множества матриц вида

с целыми g,h,k,____Доказать, что 7 является двусторонним

идеалом в кольце R верхних треугольных матриц над Z, .7 есть идеал кольца 7, но .7 не является идеалом кольца R.

  • 2.55. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что:
    • а) обратимый элемент (т. е. делитель единицы) не может быть делителем нуля;
    • б) обратимый элемент имеет единственный обратный элемент;
    • в) если Л, // обратимы, то а делится на 6 тогда и только тогда, когда аХ делится на 6//;
    • г) главный идеал (а), порожденный элементом а из R тогда, и только тогда отличен от R, когда а необратим.
  • 2.56. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Доказать, что элементы а и b тогда и только тогда ассоциированы, когда каждый из них делится на другой.
  • 2.57. Доказать, что идеал (М), порожденный непустым множеством М С R состоит из всех конечных сумм вида:
    • а) ?rfcafc, rk в R, ак € М, если R имеет единицу;
    • б) 52гкак + ^2пкак, г к G Л, ак е Л7, пк е Z, если R не имеет единицы.
  • 2.58. Суммой идеалов I, I2, ? ? ?, Ik коммутативного кольца

R называется множество / всех элементов х из R, представимых в виде х = xi +Х2 Н-----hXki Xj ? Ij, j = 1,2,..., Пишут

/ = /i + /2 H-----t- /fc. Если для любого # из / указанное представление единственно, то сумма I называется прямой суммой идеалов Ij. В этом случае пишут / = /1Ф/20. • .0/*. Доказать, что:

  • а) сумма любого конечного числа идеалов есть идеал;
  • б) сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямой суммой, когда пересечение идеалов содержит только нуль.
  • 2.59. Доказать, что если / = /10/2 — прямая сумма идеалов /1, /2, то произведение любого элемента из 1 на любой элемент из /2 равно нулю.
  • 2.60. Пусть R = /1Ф/2 — разложение коммутативного кольца R с единицей е в прямую сумму ненулевых идеалов 1, /2. Доказать, что если е = е + в2, е ? Д, в2 € /2» то ei, ег будут единицами соответственно в Д, /2, но не в R.
  • 2.61. Какие из колец в задачах 2.1 2.7 являются полями?
  • 2.62. Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.
  • 2.63. Квадратная матрица называется скалярной, если ее элементы на главной диагонали равны между собой, а вне главной диагонали — равны нулю. Показать, что скалярные матрицы порядка п с действительными элементами относительно матричных сложения и умножения образуют поле, изоморфное полю действительных чисел.
  • 2.64. Показать, что матрицы вида ^ где а и 6 —

действительные числа, образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.

  • 2.65. Доказать,что числа вида Q[v^2] = {а + b/2 + cfi а, 6, с ? Q} образуют поле, причем каждый элемент этого поля представляется в указанном виде однозначно. Найти элемент, обратный числу х = 1 — /2 + 2 v^4 (берется действительное значение корня).
  • 2.66. Доказать, что числа вида Q[/5] = {а+ Ь/5 + с/25 | а, Ь, с ? Q} образуют поле, причем каждый элемент этого поля представляется в указанном виде однозначно. Найти элемент, обратный числу х = 2 4- 3s/5 — 2^25 (берется действительное значение корня).
  • 2.67. Пусть а — корень многочлена f(x) степени п > 1с рациональными коэффициентами, неприводимого над полем Q рациональных чисел. Доказать, что множество Q{c*) чисел вида

образует поле, причем каждый элемент этого поля представляется в указанном виде однозначно. Говорят, что это поле получено присоединением числа а к полю рациональных чисел.

  • 2.68. В поле, полученном присоединением к полю рациональных чисел корня а многочлена f(x) = х3 -- 4х2 + 2х — 6 найти число, обратное числу /3 = 3 — а + а2.
  • 2.69. Доказать, что поле матриц вида , с рацио

нальными а и b изоморфно нолю Q[/2].

2.70. Какие из следующих множеств матриц образу ют поле относительно обычных матричных операций:

  • 2.71. Доказать, что при любом изоморфизме числовых нолей подполе рациональных чисел отображается тождественно. В частности, поле рациональных чисел допускает лишь тождественное изоморфное отображение в себя.
  • 2.72. Доказать, что поле R не имеет автоморфизмов, отличных от тождественного.
  • 2.73. Найти все автоморфизмы поля С, при которых каждое действительное число переходит в себя.
  • 2.74. Имеет ли поле Q[/2] нетождественные автоморфизмы?
  • 2.75. При каких т,п € Z {()} поля Q[/m] и Q[^/n] изоморфны?
  • 2.76. Доказать, что для любого автоморфизма поля К множество элементов, неподвижных относительно является подполем.
  • 2.77. Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел?
  • 2.78. Найти наибольший общий делитель чисел ап 1 и а171 - 1.
  • 2.79. Найти наибольший общий делитель многочленов f(x) = х3 + х2 4 1, д{х) = х2 + х + 1 а) над полем вычетов по модулю 3; б) над полем рациональных чисел.
  • 2.80. Найти наибольший общий делитель многочленов f(x) = Ъх3 4- х2 4 4 1, д(х) = 5х2 4 4- 1 а) над нолем вычетов но модулю 5 (при этом каждый коэффициент а надо понимать как кратное ае единицы с указанного поля или заменить коэффициенты их наименьшими неотрицательными вычетами по модулю 5); б) над полем рациональных чисел.
  • 2.81. Найти наибольший общий делитель многочленов f(x) = х4 4 1, д(х) = х3 4 х 4 1 над полем вычетов по модулю
  • а) 3; б) 5.
  • 2.82. Доказать, что

где <р(п) - функция Эйлера (число обратимых элементов кольца Zn), a pi, р2, Рк ~ все различные простые делители числа гг.

  • 2.83. Найти все такие целые п, для которых группа обратимых элементов кольца Z/(2n) является циклической.
  • 2.84*. Доказать, что группа обратимых элементов кольца Z/(рп) является циклической для любого простого р ^ 3.
  • 2.85. Доказать, что
  • а) кольцо целых гауссовых чисел Z[г] = {m + m | m,n G Z} евклидово;
  • б) кольцо комплексных чисел вида Z[iy/3] = {т + т/3 | m,n € Z} не является евклидовым;
  • в) кольцо комплексных чисел вида

является евклидовым.

  • 2.86. Пусть Z[г] — кольцо целых гауссовых чисел, I множество всех чисел т 4- m с четными т и п.
  • а) Показать, что / — идеал в Z[г];
  • б) найти смежные классы Z[i] по I:
  • в) в факторкольце Z[г]// найти делители нуля и показать этим, что Z[i]/7 не является полем.
  • 2.87. Доказать, что факторкольцо Z[i]/(3) кольца целых гауссовых чисел Z[г] но главному идеалу (3) = 3Z[г] есть поле из девяти элементов.
  • 2.88. Доказать, что факторкольцо Z[г]/{п) кольца целых гауссовых чисел Z[г] по главному идеалу (п) = пЪ[г] тогда и только тогда будет полем, когда п — простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.
  • 2.89. Доказать, что кольцо Ъх] не является кольцом главных идеалов.
  • 2.90. Пусть К[х, у] — кольцо многочленов от двух переменных ;г, у над полем К, I — множество всех многочленов этого кольца без свободного члена. Доказать, что:
    • а) I является идеалом, но не является главным идеалом;
    • б) факторкольцо К[х,у]/1 изоморфно полю К.
  • 2.91. Эндоморфизмом группы называется гомоморфизм этой группы в себя. На множестве эндоморфизмов коммутативной группы G определим операцию умножения как композицию эндоморфизмов, а операцию сложения — по правилу

Доказать, что множество эндоморфизмов коммутативной группы с определенными выше операциями сложения и умножения образует кольцо.

  • 2.92. Доказать, что
  • а) кольцо эндоморфизмов циклической группы порядка п изоморфно кольцу Ъп
  • б) группа автоморфизмов циклической группы порядка п изоморфна группе обратимых элементов кольца Ъп.
  • 2.93. Доказать, что всякое кольцо с единицей изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов своей аддитивной группы. (Изоморфное вложение — гомоморфизм с нулевым ядром.)
  • 2.94. (Еще одна версия китайской теоремы об остатках). Пусть А — коммутативное кольцо с единицей. Доказать, что если I] и /2 — идеалы в А и 1 +/2 = Л, то для любых элементов Х, Х2А существует такой элемент х € Л, что х — х1, Х-Х2^ ^2-
  • 2.95*. В кольце выполнено тождество х3 = х. Доказать, что такое кольцо коммутативно.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>