Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ. ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Автоморфизм Фробениуса

Конечное поле имеет положительную характеристику, причем эта характеристика — простое число. Вычисления в поле положительной характеристики сильно упрощаются следующей леммой.

Лемма 3.4. В поле характеристики р > 0 выполнено тождество

Доказательство. В любом коммутативном кольце верна формула для бинома

Чтобы доказать (3.1), достаточно проверить, что все (?), к ? {0,р}, делятся нар. Запишем формулу для биномиального коэффициента:

Так как р — простое число, а кольцо целых чисел — евклидово, числитель дроби делится на р, а знаменатель — нет. В самом деле, разлагая сомножители знаменателя в произведение простых, видим, что каждый простой делитель знаменателя не превосходит максимума из к и р — к, т. е. меньше р. ?

Аналогичная формула для умножения (ab)p = арЬр верпа для любого поля по очевидным причинам. Поэтому отображение является гомоморфизмом поля характеристики р

в себя. Ядро этого гомоморфизма нулевое, так как в поле есть только два идеала идеал, состоящий из одною элемента О, и само иоле. Действительно, если I — идеал в поле, a G /, а Ф 0, то и всякий другой ненулевой элемент поля х принадлежит идеалу I, поскольку является кратным а: х = (ха~1)а. Раз ядро гомоморфизма нулевое, то отображение инъективно (по определению это означает, что образы всех элементов различны). Таким образом, приходим к интересному следствию леммы 3.4 для конечных полей.

Следствие 3.5. Отображение конечного поля характеристики р, задаваемое формулой ihip, является автоморфизмом поля.

Действительно, инъективное отображение конечного поля в себя является биективным (взаимно однозначным).

Автоморфизм х I—» хр называется автоморфизмом Фробе- ниуса.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>