Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Лекция 20 Первые интегралы и сопряженные системы. Квартет матричных дифференциальных уравнений

Первые интегралы

Понятие первого интеграла

Понятие интеграла дифференциального уравнения первоначально было тождественным понятию решения. Точнее, понятие „решение14 тогда не вводилось, а поскольку разрешение дифференциальных уравнений всегда сводилось к интегрированию то, что получалось, называли интегралом дифференциального уравнения.

Со временем оказалось, что функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению, можно находить и без процедуры интегрирования например, особые решения уравнений, не разрешенных относительно производных. Или решения уравнений с постоянными коэффициентами, для которых Эйлером был разработан алгебраический метод экспонент. В связи с этим было введено понятие решения (как любой функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению). В литературе даже прошлого века понятия „решение44 и „интеграл44 употребляются обычно как синонимы и, как правило, для уравнений первого порядка.

Специальный смысл понятие „интеграл44 стало приобретать в связи с исследованием достаточно сложных, как правило, нелинейных уравнений высоких порядков. „Гарантированных" методов решения для таких уравнений не было, по кое-какие приемы достаточно часто применялись. Например, подобрать интегрирующий множитель умножить уравнение на такую функцию, чтобы полученное выражение оказалось полным дифференциалом или полной производной. Проиллюстрируем это на примере нелинейного уравнения

являющегося частным случаем очень известного уравнения Эмдена Фаулера1. После умножения на х уравнение интегрируется: хх есть производная от ж2/2, а хах есть производная от ха+1 (с коэффициентом). Таким образом, интегрирование дает нам соотношение

которое означает, что для любого решения исходного уравнения выражение, стоящее в нашем соотношении слева, не меняет своего значения. Вот это выражение и получило название первого интеграла исходного уравнения. Грубо говоря, то, что получилось после первого интегрирования.

В частности, в уравнениях классической механики тх = F(x) первым интегралом оказалась mx2/2 + U(x), т.е. обычная полная энергия механической системы.

Понятно, что после первого интеграла надо бы искать второй, т.е. интегрировать полученное соотношение еще раз. Однако в ряде случаев это оказывается довольно затруднительным, а проще оказывается найти еще один первый интеграл, отличный от уже найденного. Тогда из системы соотношений

остается исключить х и выразить х через t, Сi и Ci. Техника вычисления необходимого набора первых интегралов для уравнений высоких

'Роберт Эмден К. Braden (1862 1940) швейцарский астрофизик и геофизик. Основные труды посвящены термодинамическим, аэро- и гидродинамическим проблемам в применении их к астрофизике. Его работы по теории равновесия газового шара (в которых как раз получено уравнение, позднее названное уравнением Эмдена

Фаулера) нашли применение в теории строения звезд.

Рольф Говард Фаулер R.H. Fawler (1889 1944) английский математик и физик- теоретик, член Лондонского Королевского общества.

Уравнение Эмдена Фаулера (tmx')' ± tkxa = 0 было получено Эмденом при описании так называемого полиморфного газа, оно же описывает и расположение электронного газа в атоме. Анализ уравнения Эмдена Фаулера и его обобщений см. в седьмой главе |26|, а также в |18|, |36|.

порядков и систем таких уравнений составила основу теории гамиль- топовых[1] систем уравнений, одного из красивейших разделов нашей науки (см. |24|). Но мы отвлеклись от цели нашего повествования.

В случае системы дифференциальных уравнений

первым, интегралом называется всякая функция ip(t,x) ф const, такая что для любого решения x(t) системы

Это определение первого интеграла. Следует отметить, что в случае систем первого порядка первый интеграл является и последним „вторых“ интегралов уже не существует[2], но, тем не менее, термин „первый интеграл14 остался, и мы будем им пользоваться.

  • [1] Уильям Роуан Гамильтон W.R. Hamilton (1805 1865) ирландский математик,член Ирландской АН. член-корресиондент С.-Петербургской АН. Основные работыотносятся к механике, теории дифференциальных уравнений, вариационному исчислению.
  • [2] В отличие от уравнений n-го порядка, где итерации, связанные с понижениямипорядка, возможны, но и там почему-то зги интегралы называют не „вторыми41.„третьими44 и т.д.. а объединяют их общим названием промежуточных интегралов.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>