Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Лекция 22 Метод неопределенных коэффициентов. Матричная экспонента

Метод неопределенных коэффициентов

Перейдем теперь к решению неоднородных систем (по-прежнему с постоянными коэффициентами). Мы уже говорили об одном методе решения методе вариации произвольных постоянных, который годится и для систем с постоянными коэффициентами, и для систем с переменными коэффициентами. Этот метод, обладая универсальной применимостью, в то же время имеет и недостаток технического характера слишком уж сложные интегралы там приходится вычислять. Поэтому, естественно, хочется научиться как-то „угадывать“ решения, а не получать их долгими и кропотливыми вычислениями.

Такой метод, основанный на „угадывании11 (правда, угадывании, поставленном на научную основу), мы уже обсуждали это метод поиска решения, как говорят, „по виду правой части11 метод, известный нам под названием метода неопределенных коэффициентов[1]. Напомним, что в основе этого метода лежит достаточно простое соображение: экспоненты при дифференцировании и применении к ним алгебраических операций остаются экспонентами (причем с тем же показателем меняется только коэффициент), тригонометрические функции триг онометрическими. полиномы полиномами.

„Обратное11 соображение состоит в том, что если в результате каких- то операций дифференцирования и сложения из некоторой функции гголучилась экспонента, то исходная функция была, скорее всего, такой же экспонентой. Поэтому остается только выяснить, какой же у нее был коэффициент, а это легко найти подстановкой.

Этот крут идей мы уже „обкатали11 на уравнениях n-го порядка, а теперь мы постараемся распространить эти идеи и на системы с постоянными коэффициентами. Итак, рассмотрим систему

где х е IRn, А постоянная матрица nxn, f(t) произвольная вектор- функция вида

где Pm{t) и Qi(t) многочлены степени т и I соответственно. Основное отличие от случая уравнений n-го порядка состоит здесь в том, что f(t) является векторной функцией, а многочлены векторными многочленами (т.е. коэффициентами у них являются векторы)2.

Теорема 22.1 Пусть вектор-функция f(t) имеет вид (22.2), где Pm(t) и Qi(t) многочлены степени т и I соответственно с векторными коэффициентами. Тогда решение системы (22.1) с правой частью f(t) может быть найдено в виде

где U и V многочлены с векторными коэффициентами степени k = max(m, I) + s, as равно нулю, если число (а + i/З) не является кор-

2 Векторный характер многочленов здесь не является чем-то сверхъестественным мы уже говорили, что это просто удобный формализм и обозначения для того, чтобы не писать длинных формул. Например, ведь удобнее н теоретических выкладках вместо

писать просто систему вида (22.1), где через А и f(t) обозначены соответственно матрица и вектор-функция

Выражения в круглых скобочках как раз естественно считать многочленами с векторными коэффициентами, поскольку явное выделение степеней t дает

нем. характеристического уравнения (не,резонансный случай)[2] и равно кратности этого корня, если 4- i/З) корень характеристического

уравнения (резонансный случай).

Как нетрудно заметить, данная формулировка практически не отличается от формулировки теоремы 14.1 из первой книги. Единственное отличие состоит в том, что мы не умножаем на ts, а повышаем степень многочлена на S. Оказывается, просто умножение на ts в случае вектор- функций не помогает: уравнений оказывается больше, чем неизвестных.

Доказательство в значительной степени повторяет доказательство для случая уравнения п-ю порядка и состоит из тех же шагов.

Этап 1 состоит в сведении к случаю системы с комплексной экспонентой. Это осуществляется заменами тригонометрических функций их выражениями через мнимую экспоненту

что позволяет преобразовать f(t) к виду

где через /х обозначено число a+if3: через Я многочлен РтiQi, через N степень этого многочлена, она раина N - max(m. /).

Если обозначить через z{t) решение уравнения

то z комплексно сопряженная функция будет решением уравнения с комплексно сопряженной правой частью, а решение исходного уравнения окажется представлено в виде

Этап 2. Сведение к случаю системы с правой частью многочленом. Замена

приводит нас от системы (22.4) к системе

которая получается простой подстановкой (22.6) в (22.4)

с последующим сокращением на и переносом первого слагаемого в правую часть.

Систему (22.7) мы и будем уже изучать „напрямую". При этом уместно отметить, что условие ,,/т является/не является корнем характеристическою уравнения" по-другому звучит как „при подстановке А = д в характеристический многочлен det(.A — АI) получается нуль/не-нуль“ соответственно, а это означает просто ,,det(H — ///) равен/не равен нулю". Таким образом, нагие деление на резонансный и нерезонансный случаи просто соответствует делению на случаи, когда матрица {А — ц1) вырождена или невырождена.

Этап 3. Нерезонансный случай. Представим многочлен H^(t) в виде Решение y(t) системы (22.7) будем искать в виде

Подставив напти выражения для правой части и для решения в систему (22.7), получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t. приходим к системе уравнений

В полученной системе нам известны вектора (ведь это система векторных уравнений) ho,.... h^, а требуется найти вектора у о,..., /удг. Но это, оказывается, совсем нетрудно сделать!

Из первого уравнения находится уо (ведь матрица (A — pi) невырож- дена), из второго тогда определяется у у, из третьего г/2 и так далее. Таким образом, уравнения (22.8) позволяют последовательно найти все Уг, используя только обращение матрицы (A — pi). Подставляя полученные вектора в формулу для y(t), получаем, что решение y(t) системы (22.7) может быть найдено в виде многочлена. Возвращаясь с помощью формул (22.6) и (22.5) к решениям систем (22.4) и (22.1), получаем, что z(t) может быть найдено в виде произведения комплексной экспоненты на многочлен, a x(t) в виде (22.3) соответственно. Остается отметить, что, поскольку в нерезонансном случае „дополнительная степень14 s равна нулю, степени многочленов в (22.3) должны быть равны max(m.Z), что в точности совпадает с полученной нами в процессе доказательства.

Этап 4. Резонансный случай. В этом случае det(A — pi) = 0. Уже первый взгляд на систему (22.8) показывает, что рассуждения предыдущего случая напрямую здесь неприменимы. Уже первое уравнение системы в резонансном случае оказывается вырожденным. Поскольку уравнение неоднородное оно может оказаться несовместным (напоминаем, что каждое уравнение системы (22.8) векторное, т.е. на самом деле система уравнений). И что тогда? Что это означает? Принципиальное отсутствие решения? Или просто неприменимость нашего подхода? А если второе, то можно ли наш метод как-то модифицировать или он порочен в принципе?[3] [4] [5] [6]

Из теории уравнений n-го порядка мы знаем, что резонансный случай не редкость и гам и что проблема решается с помощью незначительной модификации. По аналогии можно надеяться, что такая модификация возможна и в системах, ведь система лишь формально чуть более сложный объект, чем уравнение n-го порядка.

Мы не будем, за недостатком места и времени, предпринимать различные попытки, пробы, испытывать различные версии. Попробуйте сделать их сами, это очень полезное и интересное занятие. В формулировке теоремы уже, по существу, указан результат, итог таких попыток. Рецепт лечения нашей проблемы сводится к повышению степени искомого многочлена. Ниже мы покажем, что этот рецепт верен: следуя этому рецепту, мы всегда сможем найти решение.

Итак, пусть правая часть у нас по-прежнему представлена в виде;

а вот решение y{t) системы (22.7) мы теперь будем искать в виде

где через s обозначена кратность корня Л = у, характеристического уравнения det(H — XI) = 0.

Подставив эти выражения в систему (22.7). получим (поскольку многочлен Н содержит только степени до N, мы в остальных формулах выделим слагаемые степеней N и N + 1 чтобы видеть, что изменяется при переходе от (N + 1)-й степени к iV-ой)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, приходим к системе векторных уравнений

Эта система несколько длинней системы (22.8), однако она имеет некоторые преимущества. Прежде всего, первое уравнение системы однородное, оно всегда имеет решение (система ведь вырожденная), и этих решений много. Во-вторых, во втором уравнении системы, хотя она и вырождена, в „левой части'1 у нас появляется некая свобода ведь уо определяется неоднозначно и появляется надежда за счет этой свободы добиться разрешимости и второй системы. Решение этой системы тоже будет неединственным, и процесс можно будет продолжить далее. Грубо говоря, за счет той свободы, которая у нас появляется при решении первых систем можно постараться сделать разрешимыми и следующие системы.

Но это все принцип. Как нам его корректно реализовать? Оказывается. здесь уместно, прежде чем рваться в бой, пораскинуть мозгами и понять, какие проблемы и в каком объеме нам надо будет решать.

Одну проблему мы уже обозначили: нам придется решать вырожденные системы уравнений. Вторая проблема то, что этих систем много, и мы можем, не добравшись до конца, окончательно и безнадежно запутаться в выкладках. Поэтому хотелось бы сделать так, чтобы застраховать себя от проблем арифметического характера. В математике проблема сложности решается только одним путем обозначением сложного объекта одной буквой. Что же мы можем сделать в нашем конкретном случае?

Нетрудно заметить, что, поскольку нам так или иначе надо найти все Уг, неизвестным, по большому счету, является вся совокупность этих (напоминаем: векторных) величин. А раз так, то почему бы не обозначить всю совокупность одной буквой:

Тогда система (22.9) может быть записана как одно векторное уравнение где матрица Л имеет блочный вид

а вектор Н имеет специфический вид: сначала s нулевых векторов, а далее по порядку вектора

Что это нам даст? Вместо того, чтобы решать много вырожденных систем, нам надо решить одну вырожденную систему (матрица Л блочная, ноддиагональная, поэтому (let. А = [det(.<4 — pI)]N+s = 0).

Теория вырожденных систем исчерпывающе исследована в алгебре, поэтому мы воспользуемся соответствующим результатом. Ниже мы процитируем нужную нам теорему в форме, которая нам наиболее удобна. Поскольку в курсе алгебры этот результат не всегда обсуждается, мы прокомментируем его природу в Приложении XIV.

Теорема 22.2 Система

с комплексной вырожденной матрицей А разрешима тогда и только тогда, когда вектор правых частей / ортогонален (в смысле комплексного скалярного произведения) всем решениям сопряженной однородной системы

Попробуем посмотреть, как выглядит сопряженная однородная система в нашем случае. Матрица этой системы имеет вид

(через р обозначено комплексно сопряженное к р число), и если „разло- жить“ вектор G, фигурирующий в системе

гак же. как и У. по компонентам

то сопряженная система окажется набором соотношений (которые мы, для удобства, запишем в обратном порядке снизу вверх)

В этой системе мы можем, присмотревшись внимательно, узнать систему. определяющую цепочку из собственного и присоединенных к нему векторов. Однако парадокс: цепочка какая-то слишком длинная! Ведь Д, будучи, как и /с, корнем характеристического уравнения, имеет ту же кратность, что и р, т.е. s. А если посмотреть на нашу систему, то, поскольку длина цепочки из собственного и присоединенного векторов равна N + s + 1. кратность Д должна быть не меньше, чем N + s + 1.

В чем же дело? Оказывается, парадокса никакого нет. Мы просто не очень аккуратно обошлись с определением собственного вектора. Дело в том. что в этом определении существенно не только то, что gi удовлетворяют системе соотношений (22.11), но и то, что первый (собственный) вектор gw+s ненулевой. На первый взгляд незначительная оговорка оказалась весьма и весьма существенной! Ведь если дм+8 0, то первое уравнение выполнено автоматически, а второе превращается в уравнение для собственного вектора, только собственным оказывается уже дм+s-i. Соответственно длина цепочки уменьшается па единицу.

Вот, по существу, и разрешение вопроса. Противоречия нет просто у решения системы (22.11) последние несколько компонент, скорее всего, должны быть нулевыми тогда все сойдется и кратности р и р окажутся, как и положено, одинаковыми.

Лемма 22.1 Для любого решения G системы (22.11) ненулевыми могут быть не более s первых компонент: gs = gs+i = • • • = дм+s = 0.

Доказательство. Предположим противное: что некоторая компонента gi при i > s является ненулевой. Из всех таких компонент мы выберем ту, которая имеет максимальный номер. Тогда gj ф 0, gj+i = ??? = gi+s = 0. Впрочем, может оказаться, что j = N + s. В любом случае система (22.11) сводится к системе

которая, в силу ф 0, означает наличие цепочки из собственного и присоединенных векторов длины j + 1 > s + 1. Но это означает, что Д, как корень характеристического уравнения, имеет кратность не меньшую, чем 5 + 1, хотя на самом деле его кратность такая же, как и у р, т.е. s. Противоречие показывает, что наше предположение о наличии ненулевого gi с номером, большим s. неверно. Лемма доказана.

Теперь доказательство теоремы легко завершить: в силу леммы у любого решения сопряженной системы A*G = 0 ненулевыми могут быть только первые s компонент, а благодаря нашему методу „повышения степени многочлена y(t)“ именно первые s компонент вектора правых частей II в системе AY = II оказываются нулевыми. Значит, вектор II будет ортогонален любому G. По теореме о разрешимости вырожденной системы наша система имеет (правда, неединственное) решение Y.

Компоненты этого „большого" вектора образуют решение системы (22.9), подстановка их в формулу для y{t) дает решение системы (22.7) в виде многочлена степени N + s (что в точности совпадает с к. указанном в формулировке теоремы). Соответственно, решение системы (22.4) оказывается произведением экспоненты на многочлен той же степени, а решение исходной системы (22.1) имеет вид (22.3).

Таким образом, мы доказали существование решения указанного в формулировке вида. Теорема полностью доказана.

  • [1] Отметим, что метод неопределенных коэффициентов может использоваться идля решения однородных уравнений: мы его фактически и употребили в лемме 21.3предыдущей главы.
  • [2] Для удобства обычно говорят, что число является корнем многочлена кратностинуль, если оно но является корнем этого многочлена. Э го на первый взгляд звучитстранно, но оказывается удобным в математических выкладках не надо отдельно оговаривать случай, когда число не является корнем. Можно смотреть и так:кратность указывает, сколько раз соответствующий множитель присутствует в разложении многочлена на множители, а если такого множители в разложении нет, тоесть он встречается 0 раз, то и кратность равна нулю.
  • [3] В качестве поучения надо бы отметить, что все перечисленные вопросы надо себе
  • [4] задавать всегда, когда не сходятся концы с концами. Это так сказать, „джентльмен
  • [5] ский набор11 вопросов вся кого уважающего себя математика, ученого, да и вообще
  • [6] любого умного человека.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>