Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Матричная экспонента

Мы уже говорили, что использование векторных и матричных обозначений делает очень похожими, но крайней мере внешне, уравнения векторные и матричные на обычные скалярные уравнения. Мы этим сходством пользовались, например, в теореме существования и единственности для системы

когда оказалось, что достаточно повторить доказательство скалярной теоремы, заменив модуль на норму.

Совершенно аналогичной оказалась ситуация и с линейными уравнениями, когда использование фундаментальной матрицы Ф(?) позволило записать общее решение однородной и неоднородной системы в виде

Эти формулы практически идентичны формулам для решения скалярного уравнения.

Теперь мы немножко поговорим о системе с постоянными коэффициентами

и о соответствующем матричном уравнении

Последнее уравнение настолько похоже па обычное скалярное х = ах. решением которого является обычная экспонента х = ceat, что возникает естественный соблазн воспринимать решение матричного уравнения как экспоненту от матрицы.

Мы уже говорили (когда обсуждали комплексную экспоненту), что вычисление экспоненты на любом новом множестве объектов (что комплексных чисел, что матриц, что дифференциальных операторов неважно) в любом случае должно аксиоматизироваться. То есть экспонента полагается „по определению*4 равной некоторому выражению, а вот оправданность такого определения необходимо обсуждать. Оправдание определения не доказательство, а, наоборот, вывод из него свойств, которые аналогичны свойствам обычной экспоненты. Чем больше удастся сохранить свойств тем более оправданным является определение.

Кроме того, часто приходится из нескольких эквивалентных вариантов выбирать какой-то один. Обычно стараются выбрать тот, который позволяет обосновывать остальные свойства проще, с меньшими выкладками.

В случае экспоненты от матрицы наиболее подходящим определением оказывается представление в виде ряда.

Определение 22.1 Экспонентой от матрицы А называется матрица

Соответственно

Это определение удобно тем, что не требует никаких дополнительных конструкций, кроме сложения и умножения матриц (эти операции мы выполнять умеем) и предельного перехода во множестве матриц, который, но существу, является предельным переходом в пространстве IRnxn пространстве наборов из п2 чисел. Правда, чисел хитро расположенных в виде матрицы, и поэтому мы, в зависимости от удобства, можем интерпретировать этот предельный переход либо как покомпонентный, либо как предел в смысле нормы матриц.

Перечислим основные свойства матричной экспоненты.

Свойство 1. Определение 22.1 применимо к любой матрице А.

Действительно, ряд, фигурирующий в определении, мажорируется числовым рядом[1]

2

и поэтому сам является сходящимся к некоторой матрице. Соответственно ряд для etA будет сходиться равномерно и абсолютно на любом конечном промежутке изменения t.

Свойство 2. Попробуем найти производную от etA. Поскольку ряды, вообще говоря, почленно не дифференцируются, а только интегрируются. дифференцирование ряда осуществляют хитрой процедурой: пишут формальный ряд из производных, исследуют его сходимость, если он сходится интегрируют его почленно и получают, естественно, исходный ряд. И тогда уже с уверенностью утверждают, что ряд, составленный из производных, является на самом деле производной от исходного ряда. Поступим так и мы. Формальный ряд из производных имеет вид

и отличается от исходного ряда лишь множителем А

Поскольку умножение ни любой постоянный (не зависящий от п) множитель не меняет сходимости ряда, полученный ряд будет сходящимся равномерно на каждом конечном промежутке изменения t. Значит, почленное интегрирование полученного ряда допустимо, а оно дает как раз исходный ряд. Значит, производная исходного ряда равна

Это и есть второе свойство, наиболее важное для дифференциальных уравнений. Определенная нами матричная экспонента оказалась решением матричного дифференциального уравнения

Свойство 3. При t = О получаем ео л = I.

Свойство 4. Для любой фундаментальной матрицы матричного уравнения X = АХ (или векторного уравнения х = Ах) имеет место формула

Действительно, в силу формулы общего решения матричного дифференциального уравнения любое решение (в том числе и наша экспонента) представима в виде etA = Ф{t)C. где С некоторая постоянная матрица. Используя свойство 3, получаем, что С = Ф-1(0).

Свойство 5. dete<71 = ei tr'4. Это следствие из формулы Якоби (интеграл равен < • tr А. а в нуле экспонента равна единичной матрице, и ее определитель равен единице).

Свойство 6. e(tl+t2>A = etlAetiA (мультипликативное свойство экспоненты).

Доказательство этого свойства состоит в простом сравнении ряда для левой части

и произведения рядов в правой части

Поскольку в левой части мы имеем разложение по степеням матрицы А, удобно и правую часть представить в таком же виде. Для этого мы используем правило, позволяющее раскрывать скобки при умножении абсолютно сходящихся матричных рядов, и уже применявшуюся нами процедуру свертки.

Как мы видим, первое и второе слагаемые в обоих рядах совпадают. Третье слагаемое в ряде для e^1+t2^ равно ^(t+t2)2 А2, а в полученном нами ряде для произведения экспонент

т.е. и здесь совпадение полное. Рассмотрим коэффициенты при Ап. В ряде для экспоненты суммы он равен ^{t +t2)n; а в ряде для произведения экспонент

В полученной сумме мы без труда узнаем формулу бинома Ньютона (ведь биномиальные коэффициенты С? как раз равны п/[к{п — А)!]). Таким образом, и в общем случае все сходится: коэффициент при Ап в разложении экспоненты от суммы и в разложении произведения экспонент совпадают.

Свойство 7. Решение неоднородной системы х = Ах + /(?), удовлетворяющее условию x(to) = ф определяется формулой

Это свойство является прямым следствием предыдущего и формулы для решения задачи Коши (22.12). Если в качестве Ф(?) взять как раз etA. то

Свойство 8. etA = lim (I + -А)п. Доказывается, как и свойство 6,

п—юо п

прямыми вычислениями. Отметим, что близкая к указанной формула

выражающая экспоненту через так называемую резольвенту матрицу Я(А) = (/ — АЛ)-1, используется для построения не только экспоненты от матрицы, но и экспоненты от дифференциальных операторов. Если А заменить дифференциальным оператором, то обратный будет интегральным оператором (наподобие того, который возникал при доказательстве теоремы существования и единственности или при выражении решения краевой задачи через функцию Грина), и формула превращается в предел lim R(^)n интегральных операторов.

П—>0с

Свойство 9. Попробуем теперь выяснить, равны ли друг другу et(A+B)n etAetB jaK же^ как и в СЛучае свойства 6, напишем разложения в ряды для экспоненты от суммы

и для произведения экспонент

Первые и вторые слагаемые этих разложений совпадают. А вот с третьим получается „загвоздка11: в первом разложении стоит (А + В)2, а во втором (если вынести множитель 1/2!) соответственно А2 + 2АВ + В2. Равны ли друг другу эти выражения? Оказывается, тут не все так просто. Ведь (А + В)2 — (А + В)(А + В) — А2 + АВ + В А + В2 (причем сомножители местами переставлять нельзя это же матрицы!). Так что совпадение выражений имеет место только если АВ = ВА. т.е. если матрицы А и В коммутируют.

Именно условие АВ = В А является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось равенство е^А+в'1 — etAetB. Необходимость мы уже показали, а для доказательства достаточности остается только произвести сравнения коэффициентов при одинаковых степенях t и воспользоваться коммутированием матриц для сведения длинных сумм во втором разложении к формуле бинома Ньютона.

Свойство 10. В теории функций комплексного переменного важную роль играет формула Коши для аналитической функции

где интегрирование производится но любому замкнутому ориентированному контуру, охватывающему точку г и оставляющему ее слева. В частности, для экспоненты f(z) — ezt

Аналогичная формула имеет место и для матричной экспоненты:

с той только разницей, что контур интегрирования должен охватывать теперь уже все собственные значения матрицы А. Эта формула, называемая формулой контурного интеграла, используется не только для вычисления экспоненты от матрицы, но и для вычисления экспоненты от дифференциального оператора. Правда, там контур интегрирования оказывается уже незамкнутым (поскольку у дифференциального оператора собственных значений может быть бесконечно много, и спектр не ограничивается никакой замкнутой кривой), точнее, замкнутым „через бесконечность14, и поэтому для корректного применения этой формулы необходимы довольно нетривиальные оценки роста функции (?/ — А)-1 (называемой, так же как и (/ — АЛ)-1, резольвентой они на самом деле отличаются лишь числовым множителем) при ? —? оо но соответствующей кривой.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите частные решения неоднородных систем методом неопределенных коэффициентов

2. Найдите экспоненту eAt для матриц

Каверзные вопросы.

1. Уравнение

называется уравнением Дуффинга[2]. Попробуйте применить к этому уравнению метод неопределенных коэффициентов. При каких условиях он приводит к успеху? А если частоту у решения уменьшить в 2,3,... раза?

2. Уравнение

называется уравнением Хилла[3]. Попробуйте применить метод неопределенных коэффициентов и к нему. При каких условиях он приводит к решению? Как его модифицировать, чтобы получить решение?

  • [1] Мы будем далее предпочитать обозначение etA. поскольку в матричной алгебречисловой множитель пишут обычно слева от матрицы.
  • [2] Биографических сведений о Дуффинге (G. Duffing) нам найти не удалось.
  • [3] s Джордж Уильям Хилл G.W. Hill (1838 1914) американский астроном и математик. Основные труды относятся к небесной механике. При описании движенияЛуны вывел уравнение х + p(t)x = 0 с периодическим коэффициентом p(f), имеющим нулевое среднее значение. Это уравнение и носит теперь его ими. Для решенияэтого уравнения Хилл использовал специальные детерминанты; техника детерминантов Хилла была позднее (в 1902 г.) использована Фредгольмом для построенияобщей теории интегральных уравнений. Мы приводим простейший вариант уравнения Хилла.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>