Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Лекция 23 Автономные системы

В прошлых главах мы изучали линейные системы. Перейдем теперь к более сложному объекту системе нелинейной. В этой главе мы рассмотрим один важный класс систем, позволяющий существенно углубить наши геометрические представления о поведении решений векторного дифференциального уравнения. Это системы, называемые автономными.

Понятие автономности

Определение 23.1 Автономной называется, любая система, правая, часть которой не зависит, явным, образом, от t, т..е. спет,ем,а вида

Неясность связи обыденного смысла автономности (т.е. независимости от внешних условий) и смысла математического (как независимости от t) происходит от того, что логический путь от обыденного представления до математического понятия проходит через целый слой соображений методологического характера, достаточно нетривиальных и неочевидных.

Что означает автономность любой реальной системы (физической, механической, социальной и т.и.)? Она означает, что система функционирует „самостоятельно11 и что это функционирование не зависит от внешних воздействий (источников энергии, наличия других систем и пр.). Что означает эта независимость? Как ее охарактеризовать? Ведь параметры, характеризующие состояние системы, изменяются. Как вычленить оттуда саму независимость от внешних условий?

Выход здесь состоит в обращении к пониманию системы как целостности, определяемой некоторым законом, и трактовке независимости как неизменности закона, по которому меняются параметры системы.

Именно закон как свойство самой системы, а не отдельных режимов ее работы, и надо рассматривать как нечто „автономное11. А что такое закон изменения параметров? Для нас это дифференциальное уравнение.

И в самом деле, что такое дифференциальное уравнение? Это какое- то (для простоты аналитическое) соотношение, содержащее выражения, в которых фигурирует х и х. В этих выражениях имеется, вообще говоря, зависимость от t как правило, в тех или иных коэффициентах. А что может заставить коэффициент меняться в зависимости от t‘! Для этого должна быть какая-то причина, внешняя но отношению к системе, точнее, к закону, который ею управляет. Но тогда система, будучи зависимой от этой причины, т.е. от внешнего воздействия, оказывается „неавтономна11 в обыденном смысле.

Итак, связь между обыденным и математическим смыслом автономности лежит через принцип, который называют часто принципом недостаточного основания: для того, чтобы характер закона изменения параметров системы (коэффициенты в дифференциальном уравнении) зависел от t, необходимо наличие внешних причин для этого изменения.

Впрочем, принцип этот надо применять с осторожностью. Ведь, например, еще Аристотель считал, что причиной любого движения является воздействие, и доказательство Галилеем того, что безо всяких воздействий тело может двигаться по закону х = vt, в котором явно фигурировало время, носило революционный характер. Могло даже показаться, что рушится какая-то интуитивно очевидная и не подвергаемая сомнению истина. Время вошло в закон движения безо всякой причины! И только когда пришло осознание того, что законы движения могут описываться достаточно сложными соотношениями дифференциальными уравнениями не только с первой, но и со второй и т.д. производными только тогда все стало на свои места. Дифференциальное уравнение свободного движения х — 0, как и дифференциальное уравнение свободного падения х = д, является автономным, как и полагается.

Таким образом, автономности в обыденном смысле соответствует, скорее, возможность выразить закон изменения состояния системы в виде автономного дифференциального уравнения (или системы уравнений).

Правда, и с „возможностью11 надо обходиться осторожно: ведь формально любая система

относительно вектора х = (х,... ,хп) может быть сделана автономной введением фиктивной переменной хц = / и введением для компенсации дополнительного уравнения xq = 1, так что наша система оказывается эквивалентной системе

которая является автономной. Правда, при такой формальной автоно- мизации теряется как физический смысл (время становится параметром, характеризующим состояние системы), так и математические свойства: например, даже линейная однородная система

после автономизации превращается в систему

которая явно не является линейной, не говоря уже об однородности.

Резюмируя обсуждения этого пункта, можно сказать, что автономность в обыденном смысле, конечно, связана с автономностью в смысле определения 23.1, но эта связь не является чисто формальной, и умение описать автономную (в обычном смысле) механическую/физическую/ экономическую и т.д. систему с помощью автономных (в математическом смысле) уравнений является скорее искусством, чем ремеслом, и требует умения выражать автономность без потери физического смысла и важных математических свойств.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>