Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Лекция 27 Устойчивость линейных систем. Спектральный критерий устойчивости. Критерий Рауса - Гурвица

Линейные неоднородные системы

Рассмотрим систему

Пусть x(t) решение, удовлетворяющее начальному условию ж(ф) — и пусть мы хотим исследовать на устойчивость именно это решение. По определению устойчивость решения x(t) означает, что

Здесь, как и в предыдущей главе, x(t) решение, удовлетворяющее начальному условию x(to) =

Обратим внимание на следующий интересный факт: нам необходимо найти разность между двумя решениями x(t) и x(t) одной и той же системы (27.1). Но ведь система линейная неоднородная, и поэтому разность ее решений всегда есть решение однородной системы! Это уже становится интересным. Ведь тогда можно обозначить эту разность через y(t) и посмотреть, какому же начальному условию оно удовлетворяет. Ба, да это начальное условие и есть как раз ? — ?, которое меньше <5! Это что же такое выходит: если обозначить разность ? — ? новой буквой (например, |/о), то из нашего определения получится следующее:

Но это определение устойчивости нулевого решения однородной системы1 ! Значит, базовое свойство решений линейной неоднородной системы позволяет нам только за счет переобозначений получить следующий замечательный факт.

Теорема 27.1 Устойчивость любого решения линейной неоднородной системы эквивалентна устойчивости нулевого решения однородной системы.

Следствие 1. Для линейных неоднородных систем устойчивость или неустойчивость имеет место для всех решений одновременно.

Поэтому, как правило, в случае линейной системы говорят об устойчивости или неустойчивости не одного какого-то решения, а линейной системы в целом.

Следствие 2. Для линейных неоднородных систем устойчивость или неустойчивость не зависит от правой части f(t).

Этот факт очень примечателен это уже совсем неочевидное с физической точки зрения свойство, которое нам удалось найти чисто математическими средствами. Например, совсем неочевидно, что на устойчивость колебаний в электрическом контуре нельзя повлиять, меняя параметры источника тока для этого контура. Или что нельзя повлиять на устойчивость колебаний упругой системы, прикладывая к ней какие-то внешние нагрузки2. Это первый пример, когда математика дает что-то новое не только с математической точки зрения.

В силу теоремы исследование устойчивости линейной системы всегда проводят на нулевом решении однородной системы.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>