Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Лекция 29 Функция Ляпунова

Понятие и определение

Геометрическое представление автономной системы дифференциальных уравнений как набора траекторий в фазовом пространстве, как мы видели. оказывается весьма эффективным. Даже не решая систему, можно определить характер движения, выделить области с различным типом движения, понять некоторые эффекты на границах этих областей. Ниже мы покажем, что представления о фазовой плоскости и фазовом пространстве оказываются очень удобными и для исследования устойчивости. Так, в примере, нарисованном в главе 23 (рис. 23.1), видно, что положения равновесия (2тгп, 0) являются устойчивыми[1], по не асимптотически устойчивыми (решения, которые начались вблизи этих точек вблизи них и остаются, но нс; приближаются при t —> +оо), а положения равновесия (тг + 27гп, 0) являются неустойчивыми: как бы близко мы не находились, например, на сепаратрисе, выходящей из такой точки, мы все равно с течением времени „уйдем“ от нее достаточно далеко (к другой такой же точке). Впрочем, по другим траекториям мы от точек (тг + 27Гп, 0) тоже уходим, но только по-разному: внутри сепаратрисы мы по циклу уходим достаточно далеко, но потом возвращаемся, чтобы снова уйти; вис сепаратрисы мы уходим уже так, что не возвращаемся никогда, так сказать, „в бесконечность11.

Постараемся развить наши наблюдения до достаточно общего результата. Пусть у нас имеется система

и пусть х = 0 ее положение равновесия (нетрудно заметить, что для другого положения равновесия достаточно осуществить сдвиг системы координат и положение равновесия окажется нулевым). По определению это положение является устойчивым, если

Мы несколько модифицировали определение, пользуясь тем, что, в силу автономности системы, выбор to непринципиален (поэтому удобно взять нуль), и тем, что исследуемое на устойчивость решение и его начальное условие нулевые. Кроме того, опущено условие продолжимости на весь промежуток (0,+оо): для автономных систем, определенных во всей плоскости, оно не выполнено, только если x(t) неограничено, а это исключается основным условием устойчивости. Асимптотическая устойчивость требует дополнительно ||ж(?)|| —>• 0 при t —> +эо.

Нетрудно видеть, что основной вопрос состоит в том, как ведет себя норма x(t) растет она или убывает с течением времени. Идеальным вариантом было бы ее монотонное изменение что может быть лучше: ||ж(<)|| монотонно убывает! Сразу из ||жо|| < б мы получили бы ||ж(?)|| < б, вот вам и устойчивость! Однако, увы, норма решения даже в случае устойчивости может вести себя довольно отвратительным образом. Посмотрим опять на рис. 23.1. Мы видим, что даже близкие к нулю решения представляют собою овалы, а не окружности, а поэтому их норма то увеличивается, то уменьшается, и из этих колебаний нормы „выловить11 что-то не представляется возможным. Как же быть?

Выход, конечно, состоит в том, чтобы что-нибудь поменять. Систему мы поменять не можем так, может, поменять норму? Ведь можно воспользоваться какой-нибудь другой нормой в IRn (все они эквивалентны между собой, так что устойчивость в смысле одной будет означать и устойчивость в смысле другой нормы)! К сожалению, выбор другой нормы помогает довольно редко только для правых частей типа произведения степеней компонент х,. Что же делать?

А давайте зададимся вопросом: а нужна ли нам вообще норма? Ведь норма это функция, удовлетворяющая дополнительным условиям! Насколько они важны для нас? Например, неравенство треугольника (которому норма должна удовлетворять) нам совершенно ни к чему: мы измеряем расстояние только до нуля, а расстояния между другими точками нас не интересуют. Значит, нам необходима просто некоторая функция V(х), измеряющая как бы „расстояние до нуля". Основное, что необходимо нам для получения эффективного результата, это чтобы, во- первых, V{x) —> 0 было эквивалентно ||х|| —> 0 и, во-вторых, чтобы V(x(t)) менялась монотонно.

Лемма 29.1 Пусть функция V{x) непрерывна и У(0) = 0. Тогда ив ||х|| —> 0 следует V(x) —? 0.

Доказательство тривиально: в заключении леммы просто указано определение непрерывности функции V(x) в нуле.

Менее тривиальным является обратное заключение. Для того, чтобы из V(ж) —> 0 следовало х —> 0. необходимо как минимум, чтобы V(x) не обращалась в нуль в точках, отличных от нуля. Тогда она обязана сохранять знак (мы будем далее предполагать, что V{x) > 0). Но и этого мало. Пример функции на плоскости (Х,Х2)

показывает, что без дополнительных предположений V(x) —> 0 может означать и то, что х —> оо. Поэтому обычно предполагают, что функция V(x) на бесконечности растет: V(x) —» оо, когда х —> оо, что записывают обычно короче: V(оо) = оо[2]

Лемма 29.2 Пусть V(x) непрерывна, И(0) = 0, V(x) > 0 прих > 0, Н(оо) = оо. Тогда из V(x) —> 0 следует х —> 0.

Доказательство. В предположении противного существуют такое г > 0 и последовательность хп, такая, что V(xn) —> 0, но ||хп|| > г. Функция V(x) на множестве х > г отделена от нуля: в силу условия V(оо) = оо существует такое R > 0, что при ||х|| > R будет выполнено V(x) > 1. На множестве же г < ||х|| < R функция И(х) непрерывна и не обращается в нуль. По теореме Вейерштрасса3 на этом множестве функция V(x) > V(a:*) > 0, где х* некоторая точка. Таким образом, на всем множестве ||ж|| > г функция V(ж) ограничена снизу положительной константой М = ппп(1, V(х*)). Значит, для выбранной нами последовательности хп из этого множества V(xn) > М > 0, что противоречит выбору последовательности хп так, что V{xn) —> 0. Противоречие показывает, что предположение, будто ||т|| может не стремиться к нулю при V(x) —» 0, неверно. Лемма доказана.

Замечание. Как видно, мы в доказательстве леммы никак не использовали условие У(0) = 0. На самом деле оно введено в условие не для того, чтобы лемма была правильной, а для того, чтобы она была содержательной. Дело в том, что если У(0) > 0, то предположение леммы V(х) —» 0 не может выполняться никогда.4

Резюмируя, можно сказать, что первое важное для нас свойство эквивалентность ||т|| —» 0 и V{x) —» 0 обеспечивается в условиях леммы 29.2. Перейдем теперь к исследованию вопроса о монотонном изменении величины V(x(t)). Здесь уместно напомнить, что само решение x(t) нам, как правило, неизвестно, и мы хотели бы решить вопрос, не находя решение. Поскольку про решение x(t) нам известно только то, что оно удовлетворяет (29.1), нам представляется естественным воспользоваться дифференцированием, тем более, что монотонность изменения некоторой величины равносильна сохранению знака у производной. Найдем'1

3 Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве в IR1' функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

‘Формально любое утверждение, посылка которого ложна, является истинным (принцип „из лжи может следовать все, что угодно1*), однако в атом случае утверждение относится к объектам, которые не существуют, и поэтому окажется бессодержательным. Вопрос о содержательности математических утверждений очень важный. Он находится вне формальной логики, и поэтому на него всегда нужно обращать внимание, даже если доказательство абсолютно „чистое“ с формальной точки зрения. Изучение устройства химер и химерических конструкций не рассмат ривается как деятельность научная.

5Напомним, что при дифференцировании функций многих переменных формула производной сложной функции имеет вид

Обычно это выражение записывают короче в терминах скалярного произведения < grad V(x),x >. понимая под grad V(x) (вектором градиента) вектор-столбец частных производных, либо в терминах матричного произведения

понимая под dV(x)/dx вектор-строку тех же частных производных (при этом произведение вектор-строки матрицы размернос ти 1 х гг на вектор-столбец матрицы размерности п х 1 дает матрицу размерности 1x1, т.е. число (скаляр)).

Определение 29.1 Производной функции V(x) в силу системы (29.1) называют, функцию (dV/dx)f(x). Ее обозначают обычно

Мы видим: что производная выражается через величину, определяемую только f(x) и функцией V(х) и не зависящую от самою решения x(t).

через

Определение 29.2 Говорят, что (функция У(х) : IR11 —> IR+ является функцией Ляпунова для системы (29.1), если:

  • У (х) непрерывно дифференцируема;
  • • 1^(0) = 0, V(oo) = оо, У (ж) > 0 при х ф 0;
  • производная, этой (функции в силу системы строго отрицательна (или неположительна или. строго пол.оэк:ительна) на всем Щп, кроме нуля.

Было бы нелишним понять, что означает условие положительно- сти/отрицательности производной функции Ляпунова в силу системы. Для этого уместно напомнить, что в фазовом пространстве множества У (ж) = С образуют поверхности, называемые поверхностями уровня функции V(ж) (на плоскости линии уровня.). Вектор-градиент grad V(ж) является нормалью к этой поверхности в точке х и направлен в сторону возрастания функции V(х) (т.е. в сторону поверхностей уровня, отвечающих большим С). Скалярное произведение (grad V(x), f(x)) есть (с точностью до множителя) проекция вектора /(ж) на градиент. Она положительна, если они направлены в одну сторону (угол между ними меньше прямого), и отрицательна, если они направлены в разные стороны (угол больше прямого). Таким образом, условие отрицательности производной V(x) в силу системы означает, что ф(х) (т.е. вектор скорости ведь х — f(x)) направлен в сторону убывания У(х) (т.е. „внутрь*1 множества, ограниченного поверхностью уровня). А условие положительности что вектор f(x) направлен всегда наружу в сторону возрастания V(ж).

Итак, геометрически условие отрицательности/положительности производной V(x) в силу системы оказывается просто условием взаимного расположения векторного поля, /(ж) относительно поверхностей уровня функции У (ж) см. рис. 29.1.

: Слева векторное поле направлено внутрь, справа наружу

Рис. 29.1: Слева векторное поле направлено внутрь, справа наружу

  • [1] ‘Точнее, если следовать определению, устойчивыми являются не точки, а соответствующие им стационарные решения х = 2тгп,у = 0, но при исследовании поведения на фазовой плоскости удобней говорить в терминах объектов, расположенныхна этой плоскости, т.е. в данном случае точек положений равновесия. Двусмысленности здесь обычно не возникает, поскольку близость возмущенного решения кконстанте и близость соответствующей фазовой точки к положению равновесияодно и то же. Другое дело когда исследуется на устойчивость периодическое решение: тут геометрическая близость траекторий совсем не означает близости решений.Опять же посмотрим на пример главы 23: как было посчитано, период обращенияно замкнутым траекториям для различных траекторий различен. Поэтому если мывзяли две точки на двух траекториях, близко расположенных друг к другу, то когдаодна вернется на прежнее место (через время, равное периоду ее траектории), другая „отстанет", еще не дойдет до исходного положения. За несколько периодов эгоотставание будет накапливаться, так что спустя некоторое время первая точка, вернувшись очередной раз в свое исходное состояние, обнаружит, что другая находитсяв противоположном конце траектории! Затем ситуация начнет „выравниваться", нопотом, опять же за счет разницы в периодах, опять начнет ухудшаться. Этот примерпоказывает, что при исследовании периодических движений важно различать дватипа устойчивости геометрическая близость траекторий (называемая орбитальнойустойчивостью) и устойчивость периодического решения по Ляпунову (которая, какправило, в неизохронных системах места не имеет).
  • [2] Как видно, это предположение „с запасом11: на самом деле достаточно, чтобыV(х) была отделана от пуля в окрестности бесконечности (или, что то же самое,чтобы jV(x) была ограниченной на бесконечности).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>