Полная версия

Главная arrow Статистика arrow МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ СОЦИОЛОГОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Предельные теоремы

При изучении результатов наблюдений над реальными массовыми случайными явлениями (выборочными значениями изучаемых случайных величин) часто исследуются закономерности, обладающие свойством устойчивости при рассмотрении разных выборок. Суть устойчивости состоит в том, что конкретные свойства каждого явления почти не сказываются на среднем результате. Наблюдаемые на выборке характеристики случайных величин при неограниченном увеличении количества и объема выборок становятся практически неслучайными. Предельные теоремы, о которых идет речь ниже, фактически устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. По смыслу эти теоремы можно разбить на две большие группы — центральную предельную теорему и закон больших чисел (хотя по сути они отражают одно и то же).

Центральная предельная теорема

Центральной предельной теоремой обычно называют группу утверждений (точнее, каждое утверждение из этой группы), которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой — нормальным законом распределения. Формулировки отличаются условиями, которые накладываются на исходные случайные величины.

Прежде всего напомним формулировку (в упрошенном виде[1]) одной из известных теорем А. М. Ляпунова (1857—1918) (впервые, но в более простом виде, эта теорема была доказана П Л. Чебышевым (1821-1894) в 1887 г.).

Теорема Ляпунова (1901) - распределение суммы независимых случайных величин Xr Xv Xv ..., Хп приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении я, если выполняются следующие условия:

  • • все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии;
  • ? ни одна из величин по своему значению резко не отличается от остальных и оказывает ничтожное влияние на их сумму.

Таким образом, предельное распределение суммы случайных величин в условиях рассмотренной теоремы не зависит от вида распределений самих случайных величин.

Опыт показывает, что распределение суммы независимых случайных величин, у которых дисперсии нс отличаются резко друг от друга, довольно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых, большем десяти, распределение суммы можно заменить нормальным.

Теорема Ляпу нова справедлива и для дискретных случайных величин.

Отметим, что центральная предельная теорема имеет важное значение для социолога, поскольку объясняет причину большого распространения в природе (в том числе — в обществе) нормального распределения, оправдывает делаемые зачастую априори, без проверки, предположения о нормальности тех распределений, которые анализируются в социологических исследованиях. Приведем пример.

В ряде методов шкалирования предполагается, что мнение человека о любом объекте плюралистично. Это означает, что если бы у нас был инструмент измерения такого мнения и мы имели бы возможность использовать его много раз, то, вообще говоря, каждый раз получали бы разные значения. Этим значениям отвечало бы некоторое распределение вероятностей. Важное для нас утверждение состоит в том, что при этом обычно полагают, что указанное распределение нормально (это делается, например, в методе парных сравнений — одном из известных способов получения экспертных оценок[2]). И такую посылку вполне можно принять, если опереться на центральную предельную теорему.

Другая формулировка теоремы Ляпунова

Если случайная величинаЛГимеет математическое ожиданиеЛ/Л1 и дисперсию DX, то распределение среднего арифметического X = = (2Л^)/я, вычисленного по наблюдавшимся значениям случайной величины в и независимых испытаниях, проведенных в одинаковых условиях, при я -* оо приближается к нормальному с математическим ожиданием MX и дисперсией DX/ п. Другими словами,

(в таких случаях говорят, что X имеет асимптотически нормальное распределение с указанными параметрами; «асимптотически» означает, что распределение тем ближе к нормальному, чем больше объем выборки).

Или, в других обозначениях, то же самое может быть записано следующим образом:

Именно этот вариант формулировки теоремы Ляпунова будет активно использоваться нами далее.

Заметим, что в соответствии с этой формулировкой дисперсия средних, рассчитанных для случайных выборок объема и из совокупности с дисперсией о2, равна а2/л.

То, что в соответствии с соотношением (4.1) средние арифметические значения рассматриваемого признака А", вычисленные для разных выборок, как бы сосредоточиваются вокруг математического ожидания^, дает некоторые основания для использования выборочного среднего арифметического для оценки последнего. Еще одно основание для такого использования дает закон больших чисел.

  • [1] и См., например: Калинина В. 11., Панкин В.Ф. Математическая статистика.С. 130.
  • [2] Подробнее см.: Толстова ЮЛ. Измерение в социологии. См. также сноску 11.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>