ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ОПИСАНИЕ ИСТОЧНИКОВ ЭДС И ПАССИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. ЗАКОНЫ КИРХГОФА

В электротехнике наиболее часто используются и рассматриваются электрические цепи, содержащие следующие элементы, характеризуемые соответствующими параметрами: резисторы с активным сопротивлением Я, конденсаторы емкостью С, катушки с индуктивностью L и источники электродвижущей силы (ЭДС) е. Реже рассматриваются цепи с источниками тока и элементы, характеризуемые взаимоиндуктивностями.

Источники ЭДС.

Остановимся подробнее на описании источника ЭДС. Как известно, величина ЭДС равна той энергии, которую приобретает положительный заряд 1 Кл, перемещаясь под действием сторонних сил в пределах источника. Прохождение тока по источнику сопровождается потерями энергии внутри источника на нагрев. Эти потери характеризует внутреннее сопротивление Rr Поэтому сопротивление Rt наряду с ЭДС является важнейшим параметром источника (рис. 1.1.1).

Рис. 1.1.1

Напряжение (разность потенциалов) U_Tttt на зажимах реального источника с ненулевым внутренним сопротивлением равно и_пн- е - iR и зависит от тока / в цепи, т.е. от сопротивления нагрузки, подключенного к зажимам У, 2 генератора. Идеальным источником ЭДС называется источник, внутреннее сопротивление которого равно нулю. Под действием сторонних сил на зажимах идеального источника ЭДС возникает разность потенциалов, равная величине ЭДС. Поэтому такой источник характеризуется напряжением на внешних зажимах численно равным ЭДС.

У идеального источника напряжение на внешних зажимах не зависит от сопротивления нагрузки.

В общем случае ЭДС, токи и напряжения на участках цепи могут меняться во времени по любому физически реализуемому закону. Однако наиболее часто в электротехнике рассматриваются цепи постоянного тока, когда ЭДС, токи и напряжения не меняются во времени, и цепи переменного тока, когда эти величины меняются по гармоническому закону.

Элементы электрических цепей с параметрами R, L, С и др. делятся на активные и пассивные. Активные элементы являются источниками электрической энергии (при усреднении за период колебаний ЭДС, токов и напряжений в цепях переменного тока). Активным элементом часто является источник ЭДС, хотя в отдельных случаях, как будет показано в § 1.5, источник ЭДС может оказаться и потребителем электрической энергии. Пассивные элементы с параметрами R, L,C в среднем за период колебаний в цепях переменного тока не являются источниками энергии, однако в отдельные моменты времени могут быть источниками энергии, возвращая накопленную электрическую энергию в электрическую цепь. Поэтому эти элементы называются пассивными. Подробнее энергетические процессы в элементах с параметрами R, L, С и источниках ЭДС будут рассмотрены ниже (см. § 1.5).

Для однозначности описания процессов, происходящих в каком-либо элементе цепи, необходимо знать не только напряжение и силу тока, но также их направления в рассматриваемый момент времени. Стрелки, указанные на схемах, показывают положительные направления ЭДС, токов и напряжений, т.е. такие направления, для которых значения рассматриваемых величин положительны.

За положительное направление тока принято направление движения положительных зарядов, за положительное направление ЭДС — направление действия сторонних сил на положительные заряды, за положительное направление напряжения — направление убывания потенциала. При наличии в цепи одного источника положительные заряды внутри источника движутся в направлении действия сторонних сил, а в активном сопротивлении — всегда в направлении убывания потенциала, тогда положительные направления тока и ЭДС источника, тока и напряжения на активном сопротивлении совпадают при замыкании зажимов 1 и 2 (см. рис. 1.1.1). В рассматриваемом случае положительное направление напряжения на зажимах источника противоположно направлению ЭДС и тока, протекающего через источник. При наличии в цепи двух источников ЭДС, напряжения на зажимах которых противоположны (рис. 1.1.2), ток через один источник с большей ЭДС е_] противоположен напряжению на зажимах этого источника и совпадает по направлению с напряжением на зажимах второго источника с меньшей ЭДС е₂, т.е. ток и напряжение на втором источнике будут иметь те же направления, как и в случае активного сопротивления.

Положительные направления токов и напряжений совпадают на пассивных элементах с параметрами R> L, С. В цепях, где действуют источники ЭДС, величины которых периодически меняют знак (цепи переменного тока), все направления токов и напряжений являются условно-положительными, так как через половину периода токи и напряжения также меняют знак.

Законы Кирхгофа. Анализ процессов в электрических цепях производят на основе законов Кирхгофа, выражающих два основных свойства любых электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в любом узле электрической цепи заряд не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в узле, в любой момент времени равна нулю:

где п — число ветвей.

При этом токи, направленные к узлу, берут с одним произвольно выбранным знаком, а токи, направленные от узла, — с противоположным.

В качестве примера рассмотрим схему на рисунке 1.1.3.

Рис. 1.1.3

Первый закон Кирхгофа для этого узла может быть записан в двух эквивалентных видах:

1) о,

В этом случае за положительное направление выбрано направление тока, притекающего к узлу;

2) /₄ — /, — /₂— ij - О,

В этом случае за положительное направление выбрано направление тока, вытекающего из узла.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Изменение потенциала между парой узлов участка характеризуется разностью потенциалов или равным ему напряжением.

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на участках замкнутого контура в любой момент времени равна нулю:

где п — число участков контура.

При этом условились напряжения, положительные направления которых совпадают с направлением обхода, брать с положительными знаками, а напряжения, положительные направления которых противоположны направлению обхода, — с отрицательными.

В качестве примера рассмотрим схему на рисунке 1.1.4.

Рис. 1.1.4

На этой схеме можно выделить три контура и для каждого записать соотношение в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

В случае, когда в цепи имеются пассивные элементы и источники ЭДС, второй закон Кирхгофа иногда формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма мгновенных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, в любой момент времени полностью уравновешивается алгебраической суммой напряжений на пассивных элементах того же контура, т.е.

П

где 'y ±e_l(t) — алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замк- I-¹ е

нутом контуре(_/'= 1, 2,3,..., п), a^±u_n(t) —алгебраическая сум-

*=i

ма напряжений на пассивных элементах.

ЭДС берутся с положительными знаками, если направление действия сторонних сил совпадает с направлением обхода. Для схемы, приведенной на рисунке 1.1.2, при обходе по часовой стрелке имеем в соответствии со второй формулировкой второго закона Кирхгофа

Описание пассивных элементов. Перейдем к описанию связей между током и напряжением на пассивных элементах R, L, С электрических цепей. Характеристики элементов электрических цепей: активное сопротивление R резистора, емкость С конденсатора и индуктивность L катушки индуктивности — позволяют установить связь между напряжением и током на резисторе:

зарядом и напряжением на конденсаторе:

и потокосцеплением Д* = Фw (Ф — магнитный поток; w — число витков катушки) и током через катушку индуктивности:

При больших значениях и, /, q, Д^, величины R, L, С зависят от и, /, q, У, , например R = R(i), соответствующие зависимости токов и напряжений нелинейны, а цепи с такими элементами называются нелинейными. Однако во многих случаях при достаточно малых значениях и, q, Ч^, этими зависимостями можно пренебречь. В этом случае связи и_к и /„, q_c и и_с, Ч^>, и /^являются линейны- м и, а соответствующие элементы с параметрами R, L, С называются линейными элементами электрических цепей, не зависящими от времени. Такие линейные электрические цепи, т.е. цепи с параметрами, не зависящими от времени, имеют огромное практическое значение.

Значительно реже используются линейные элементы R(t), L(i), C(l), зависящие от времени:

Кроме деления на линейные и нелинейные, электрические цепи, рассматриваемые в электротехнике, делятся на однофазные и многофазные. Однофазной называется электрическая цепь, в которой действует один источник ЭДС. В многофазной цепи действует несколько источников ЭДС одной частоты, но с различными начальными фазами. Наибольшее распространение получили трехфазные цепи (см. гл. 5).

В данной главе будем рассматривать только однофазные цепи. Расчет электрических цепей сводится, как правило, к определению токов, протекающих через отдельные элементы или группы элементов, напряжений на этих элементах и соответствующих мощностей, либо к определению параметров цепей при заданных токах, напряжениях и мощностях.

Как уже указывалось, связь между зарядом и напряжением на конденсаторе описывается соотношением (1.1.5), дифференцируя которое, определим зависимость тока от напряжения:

Отсюда

Напряжение на катушке индуктивности U_L, уравновешивающее (компенсирующее) ЭДС самоиндукции,

и обеспечивающее протекание тока через катушку индуктивности, равно по абсолютной величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции. Это напряжение находим, дифференцируя соотношение (1.1.6):

Отсюда

Условились положительное направление ЭДС самоиндукции брать совпадающим с положительным направлением тока, который наводит эту ЭДС (рис. 1.1.5).

Рис. 1.1.5

Тогда положительное направление ЭДС самоиндукции совпадает с положительным направлением напряжения на индуктивности и,.

Связь между напряжением на катушке индуктивности и ЭДС самоиндукции e_L(t) можно найти также следующим образом. Пусть напряжение обусловлено действием внешней ЭДС (см. рис. 1.1.5). Тогда в цепи, содержащей катушку индуктивности и источник внешней ЭДС, действуют две ЭДС: е_т(1) и e,(t), положительные направления которых одинаковы, а их сумма равна алгебраической сумме напряжений на остальных пассивных элементах цепи согласно второй формулировке второго закона Кирхгофа. В случае идеальной катушки индуктивности (без потерь) эта сумма ЭДС равна нулю:

т.е. ее внешняя ЭДС противоположна по знаку ЭДС самоиндукции:

Напряжение u(t) на зажимах источника ЭДС равно напряжению на зажимах катушки индуктивности «,(/), а также численно равно и противоположно по направлению ЭДС u,_u(t).

Отсюда имеем

Соотношения между током и напряжением на элементах, характеризующихся активным сопротивлением,

емкостью и индуктивностью, являются основными и необходимыми для всех последующих расчетов электрических цепей.