Простейшие задачи в координатах на плоскости

а) Нахождение координат середины отрезка. При нахождении координат середины отрезка рассматриваются два случая возможного расположения этого отрезка: отрезок АВ нс параллелен оси Оу, то сстьх| фх2, и Х| 2, то есть АВ I Оу.

Рис. 83

Рис. 84

В первом случае с помощью теоремы Фалеса доказываем, что точка С является серединой отрезка АВ (АА || Оу, ВВ || Оу), С - середина АВ (рис. 83).

Из равенства АС = ВС следует, что | лг — jci| = | х -х2 . Последнее равенство известно учащимся из курса алгебры. Поэтому либо х -Х = х-х2, либо х - х = - (х - х2). Первое невозможно, так как х *х2. Поэтому верно второе: х -

X1

*i = - х + *2- Отсюда 2х = х + *2, а х = 1 2 - абсцисса точки С.

Если х| = х2, то есть АВ || Оу, то все три точки А,В и С] имеют одну и ту же абсциссу. Значит, формула остается верной и в этом случае.

Ордината точки С находится аналогично. Через точки А, В и С проводятся

прямые, параллельные оси Ох. В итоге получаем у = - * -- - ординату точки С.

б) Вычисление длины вектора но его координатам. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. доказывается, что длина вектора а (х;у) вычисляется по формуле

Для доказательства этой формулы отложим от начала координат вектор ОА = а и проведем через точку А перпендикуляры АА и АА2 к осям Ох и Оу (рис. 84). Координагы точки А равны координатам векторов ОА, т. е. (х; у). Поэтому ОА 1 = | х, АА | = ОА2 = | у (мы рассматриваем случай, когда х *? 0 и у * 0; другие случаи учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

По теореме Пифагора

Но | а | = | О А | = ОА, поэтому | а = у]х2 + у2 , что и требовалось доказать.

в) Нахождение расстояния между двумя точками по их координатам.

Формулы для вычисления расстояния между точками, координаты которых известны, также рассматриваются для различных случаев расположения этих точек.

Рис. 85

Найдем расстояние между точками Л (л^; и А22уг).

а) Пусть**2, ну *у2 (рис. 85).

В этом случае А А | = ух21; АА2 = | ДГ| 2. По теореме Пифагора

После этого рассматриваются другие возможные случаи:

  • 1) *i 2, У *Уъ
  • 2) х *лг2, У =Уъ
  • 3) *i 2,ну =у2.

Полученная формула верна для каждого из

этих случаев.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. иной подход к выводу формулы. Рассматривается вектор А,А2, находятся его координаты (если известны координаты его концов) и длина этого вектора через его координаты. В итоге получаем такую же формулу.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >