Полная версия

Главная arrow Техника arrow АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ АВТОМАТИЗАЦИИ

Классификация математических моделей. Поскольку многие современные ТП очень сложные, для создания САУ необходимо располагать математическим описанием процессов, происходящих как в самой системе, так и в ее элементах.

Под математическим описанием (математической моделью) подразумевается совокупность уравнений и граничных условий, описывающих зависимость выходных величин от входных в установившемся и переходном режимах. В связи с этим различают математические модели двух классов:

установившегося режима (статическая модель)] переходного режима (динамическая модель).

Динамические модели имеют вид уравнений, описывающих изменение во времени выходных величин систем (элементов) в зависимости от изменения входных. Эти уравнения, как правило, записывают в дифференциальной форме. Их частный случай — дифференциальные уравнения нулевого порядка (алгебраические уравнения) — описывают установившийся режим.

Таким образом, в общем случае математической моделью системы (элемента) с т входными {xt,x2,...,xm =А'} и п выходными координатами {у,у2,—,у„ =У} называют совокупность уравнений Y =F(X;a), однозначно описывающих поведение величины у при заданных векторах X и а, где а — характеристика системы (элемента).

Математическая модель может быть получена аналитическим или экспериментальным методом. В последнем случае она может быть детерминированной (выходная величина однозначно определяется входной) или статистической (входные воздействия носят случайный характер).

Дифференциальные уравнения простых объектов автоматизации можно составить, используя закономерность происходящих в них физических явлений. Такими закономерностями могут быть закон сохранения вещества (объект регулирования уровня, давления), закон сохранения энергии (объект регулирования температурой), законы электротехники и т. д. Уравнения статических и переходных режимов составляют на базе уравнений балансов вещества или энергии.

При составлении дифференциальных уравнений сложного объекта (системы) он (она) должен быть расчленен на ряд простейших элементов, соединенных последовательно. Для каждого из этих элементов составляют математическую модель статики или динамики, а затем получают дифференциальное уравнение объекта (системы), исключая промежуточные величины. В большинстве случаев уравнения элементов нелинейны, и поэтому дифференциальное уравнение системы, как правило, тоже нелинейно и подлежит линеаризации.

С целью упрощения задачи при аналитическом методе построения математической модели допускают определенные упрощения (пренебрегают распределенностью параметров, исключают некоторые возмущающие воздействия и т.д.).

В качестве примера рассмотрим процесс вентиляции животноводческого помещения объемом Vс содержанием диоксида углерода Со (%) при производительности а (м'/мин). Входная величина объекта — производительность вентиляторов, выходная — концентрация диоксида углерода в помещении. Обозначим содержание диоксида углерода в воздухе в момент времени Г через х(%). Составим за промежуток времени dr (мин), прошедший от момента г, баланс диоксида углерода, содержащегося в помещении. За это время вентиляторы доставили в помещение количество воздуха, равное 0,01 С0 adt. Следовательно, всего за период dr количество диоксида углерода (м3) в воздухе уменьшилось на dV= = (0,01x-0,01C0)ad/.

Обозначив через dx процентное уменьшение количества диоксида углерода в воздухе, это же количество можно подсчитать по другой формуле

Приравнивая между собой оба выражения для d К, составляем дифференциальное уравнение:

Разделяя переменные, находим

Чтобы получить такое простое уравнение, пришлось допустить, что концентрация диоксида углерода во всех частях помещения в каждый момент времени одинаковая, т. е. чистый воздух смешивается с загрязненным практически мгновенно.

Методы идентификации объекта. Известны два метода экспериментального определения (идентификации) характеристик объектов автоматизации — активный и пассивный. В первом методе испытательное воздействие стандартной формы задают искусственно, во втором — объект исследуют, сопоставляя выходные и входные величины в условиях его нормальной эксплуатации.

Выбор метода идентификации объекта автоматизации определяется характером поставленной задачи, условиями опытов, характером эксплуатационных возмущений и допустимыми по технологическим требованиям отклонениями исследуемых величин.

Метод активного эксперимента по исследованию статических характеристик проводят в следующем порядке.

  • 1. Изучают ТП, оборудование и устанавливают взаимные связи между входными х и выходными у координатами.
  • 2. Каждую входную величину изменяют ступенчато в пределах рабочего диапазона и спустя (2...3) Ту (здесь Ту длительность переходного процесса) фиксируют значение выходной величины у. Например, для определения статических характеристик зимней теплицы с водяным обогревом следует установить ряд соотношений между расходом воды через регулирующий клапан и температурой воздуха в средней точке теплицы. При этом температуру следует измерять после стабилизации температурного режима сооружения. Опыт повторяют по каждому из каналов исследования многократно (обычно 6... 10 раз).

3. Поскольку полученные зависимости у =Дхь х2...) могут быть искажены помехой, их следует сгладить, используя один из известных методов. Например, метод скользящего среднего или метод наименьших квадратов. При подборе аппроксимирующей функции необходимо учитывать два требования:

функция должна с максимальной точностью воспроизводить реальную зависимость;

функция должна быть простой и удобной для использования в качестве расчетной формулы.

При выборе вида аппроксимирующей функции целесообразно обратить внимание на известную информацию об изучаемом процессе. Вполне вероятно, что идентифицируемое явление ранее уже исследовалось и на сегодняшний день известны физические закономерности, определяющие взаимосвязь входных и выходных величин. В этих случаях для математического описания процесса могут быть использованы такие распространенные зависимости, как экспоненциальные, тригонометрические, а также двухпараметрические функции вида у - а + b/х; у= 1/д + bx; у = /а = b lax; у = аеь/х и т. д.

Если физических предпосылок к выбору той или иной функции нет, то в качестве аппроксимирующего выражения можно использовать полином из ряда Тейлора:

Для таких выражений процедура нахождения значений параметров я, хорошо разработана, а соответствующие программы написаны практически на всех алгоритмических языках и введены в большинство общематематических прикладных пакетов.

Метод пассивного эксперимента по исследованию статических характеристик реализуют в такой последовательности.

Эмпирическая линия регрессии при обработке результатов эксперимента

Рис. 1.10. Эмпирическая линия регрессии при обработке результатов эксперимента

1. Диапазон изменения входной величины х разбивают на равные интервалы (6...12)Дх и все л,-точки, попавшие в данный интервал, относят к середине интервала (рис. 1.10). Для каждого интервала находят среднее арифметическое значение ординат л,- точек, соединив которые, получают эмпирическую линию регрессии ЛВСДЕ.

Период квантования Т (время между отдельными замерами входных и выходных величин) принимают не менее чем время корреляции ткор. Время корреляции входной и выходной координат оказы-

Активный эксперимент по определению динамических характеристик

Рис. 1.11. Активный эксперимент по определению динамических характеристик:

а — ступенчатое возмущение; б— прямоугольный импульс

вается обычно неодинаковым, и период квантования выбирают по большему из них: Т> ткор тах. При выборе момента измерений ко- • ординат возможны два способа:

синхронный — х(Г) и y(t) измеряют одновременно в моменты времени t =0; 2T...JT. Недостаток этого способа — зависимость точности измерений от инерционности объекта;

асинхронный — величину х(/) измеряют на т раньше, чем y(t), в этот момент y(Jt) в наибольшей степени коррелирует с x(jt— т). Время т определяют по максимуму взаимно корреляционной функции.

Длительность эксперимента зависит от периода квантования Т и числа дискрет d. Если входная и выходная координаты подчиняются нормальному закону распределения и уравнение регрессии линейно, то (20...30)Ai, где А: — число неизвестных коэффициентов уравнения регрессии. Тогда длительность эксперимента Тэ >Td.

  • 2. Определяют параметры уравнения регрессии, описывающего теоретическую прямую. Теоретическая прямая — это линия (FL на рис. 1.10), к которой стремится эмпирическая линия регрессии при /->»о. Как и при обработке результатов активного эксперимента, параметры уравнения регрессии лучше всего определять методом наименьших квадратов.
  • 3. Оценивают меру тесноты связи исследуемых параметров. В

случае линейной зависимости y=j{x) используют коэффициент корреляции Rxy, а в случае нелинейной — корреляционное отношение Tijj,. Оба названных показателя по модулю изменяются от 0 до 1. Если Rxy или rix,, равны нулю, то связи между у их нет. Если же эти показатели равны какому-то числу между 0 и 1, то связь есть, но на выходную величину у помимо х влияют и другие факторы. И, наконец, если R^ или равны 1, то связь между у их

есть, причем она носит не вероятностный, а функциональный характер.

Метод активного эксперимента по определению динамических характеристик объекта может быть осуществлен при использовании апериодических или периодических входных воздействий. В первом случае в результате эксперимента получают временные характеристики (кривые разгона и т. д.), во втором — частотные характеристики. Апериодические входные воздействия типа ступенчатого возмущения (рис. 1.11, а) или прямоугольного импульса (рис. 1.11, 6) реализуют, перемещая регулирующий орган на 5... 15% его полного хода. Эксперимент желательно проводить при нагрузке объекта, соответствующей середине рабочего диапазона Хр. Начало и конец эксперимента должны соответствовать установившемуся значению выходной величины, т. е.

где Ту— время окончания переходного процесса: ориентировочно Ту = (2...3)Г; Та — постоянная времени объекта.

По результатам эксперимента находят единичные переходные характеристики /*(/) = q(t)/A. Если они отличаются одна от другой при любом 0 < t < Ту не. более, чем на 15%, то объект обладает линейной характеристикой. Для дальнейшей обработки принимают единичную усредненную переходную характеристику

Полученные в результате эксперимента временные характеристики подлежат аппроксимации дифференциальными уравнениями или передаточными функциями.

Рассмотрим наиболее простые методы аппроксимации инерционных объектов автоматизации.

1. С помощью одного апериодического звена первого порядка с запаздыванием

где И^(р) — передаточная функция объекта; — коэффициент передачи объекта; т — запаздывание.

Коэффициент Лоб рассчитывают как отношение установившегося значения выходной величины у^ к величине входного воздействия А. Размерность коэффициента передачи зависит от размерностей величин у и А. Значения постоянной времени и запаздывания х определяют графически по кривой разгона (переходной характеристике) объекта, как показано на рисунке 1.12. Дополнительно проведенная прямая линия касается кривой в точке ее перегиба Е (в этой точке угол между касательной и осью абсцисс максимальный).

2. С помощью п апериодических звеньев первого порядка с запаздыванием

Методику определения параметров передаточной функции поясняет рисунок 1.13. Запаздывание т в этом случае определяется моментом «отрыва» кривой от оси абсцисс. Постоянную времени определяют по формуле

где S— площадь заштрихованной фигуры, образованной в результате проведения касательной к кривой разгона в точке перегиба.

Способ определения коЪ не отличается от рассмотренного ранее.

Для астатического объекта автоматизации с кривой разгона, изображенной на рисунке 1.14, простейшая аппроксимирующая передаточная функция имеет вид

I

Параметры передаточной функции определяются положением касательной к кривой разгона в той ее части, где скорость измене-

Определение динамических характеристик по кривой переходного процесса

Рис. 1.12. Определение динамических характеристик по кривой переходного процесса

Графики переходных процессов

Рис. 1.13. Графики переходных процессов

ния выходной величины у постоянная и максимальная. Запаздывание т определяется точкой пересечения касательной с осью абсцисс, а коэффициент передачи — тангенсом угла а наклона касательной к этой же оси. Таким образом, коэффициент передачи астатического объекта равен отношению скорости изменения выходной величины y(t) к величине входного воздействия А.

Определение динамических характеристик астатического ОУ по кривой разгона

Рис. 1.14. Определение динамических характеристик астатического ОУ по кривой разгона

Входные воздействия типа прямоугольного импульса (рис. 1.15) используют в том случае, если условия ТП не допускают длительного входного воздействия. Полученную в результате опыта кривую разгона легко перестроить к стандартному

виду и аппроксимировать.

Периодические входные воздействия используют в том случае, если динамические характеристики объекта автоматизации должны быть представлены в виде комплексной частотной характеристики (КЧХ), называемой также амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ).

Сущность эксперимента заключается в подаче на вход объекта периодического воздействия x(t) определенной амплитуды Авх и частоты о) = 2п/Т(здесь Т — период воздействия) и фиксировании колебаний выходной величины y(t) с целью определения зависимости амплитуды выходных колебаний Лвых (со) и сдвига фаз <р (со) между входными и выходными колебаниями от частоты о. Проведение такого эксперимента технически затруднено, поскольку продолжительность опыта на одной и той же частоте со зависит от стабилизации параметров выходных колебаний, которая длится от 5 7*до 15 Г. Кроме того, требуется максимально исключить влияние других возмущений и контролировать смещение оси выходных колебаний. При этом частоту и амплитуду входного воздействия задают специальным генератором синусоидальных колебаний.

Периодические входные воздействия (рис. 1.16) находятся в инфранизкой области диапазона частот 0...0,2с-1. Начальная частота колебаний сон = 1/7^, а конечная сок равна частоте среза, т. е.

Прямоугольный входной импульс

Рис. 1.15. Прямоугольный входной импульс

той частоте, начиная с которой ^вых^к) <о, 1.

ЛыхЮ

АФЧХ объекта строят по точкам, соответствующим установленной частоте входных колебаний со, координаты которых рассчитывают по формулам

где Л(ш) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

Тогда передаточная функция в частотной форме примет вид

Если по каким-либо причинам невозможно создать гармонические входные колебания, то целесообразно создавать вручную колебания типа «прямоугольная волна» (рис. 1.17). После двухтрех колебаний на выходе измеряют их амплитуду АВЬ1Х и сдвиг по фазе ср относительно входных колебаний. Эксперимент повторяют несколько раз при неизменной амплитуде входных колебаний Авх и изменяющемся их периоде Т. Входной и выходной сигналы должны быть разложены в ряд Фурье, т. е. представлены в виде суммы гармоничных составляющих разных частот:

С достаточной для практических целей точностью можно ограничиться использованием только первых гармоник разложения и

Результаты регистрации входных и выходных колебаний при гармонических входных воздействиях

Рис. 1.16. Результаты регистрации входных и выходных колебаний при гармонических входных воздействиях

Результаты регистрации входных и выходных колебаний при входных воздействиях типа «прямоугольная волна» по их параметрам наити частотные характеристики исследуемого объекта

Рис. 1.17. Результаты регистрации входных и выходных колебаний при входных воздействиях типа «прямоугольная волна» по их параметрам наити частотные характеристики исследуемого объекта.

Использование АФЧХ для определения параметров объекта

Рис. 1.18. Использование АФЧХ для определения параметров объекта

Полученную в результате эксперимента АФЧХ можно использовать для определения параметров объекта ko6, ToCl и т, соответствующих его аппроксимации в виде апериодического звена первого порядка с запаздыванием. Методика этого преобразования пояснена на рисунке 1.18: постоянная времени Т’об = tg an(w)/co/; запаздывание т = 3an(m)/co,. Аналогичным образом возможна и обратная операция преобразования И/об(/>) в АФЧХ.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>