Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения а нормального распределения

Пусть количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение а по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению 5. Поставим перед собой задачу найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с заданной надежностью у.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Для того чтобы можно было пользоваться готовой таблицей, преобразуем двойное неравенство

в равносильное неравенство

Положив 8/5 = <7, получим

Остается найти ц. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину «хи»:

где п — объем выборки.

Как было указано [см. § 16, пояснение, соотношение (***)], величина S - 1 )/а2 распределена по закону х2 с п -1 степенями свободы, поэтому квадратный корень из нее обозначают через %.

Плотность распределения х имеет вид (см. пояснение в конце параграфа)

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит лишь от объема выборки п.

Преобразуем неравенство (*) так, чтобы оно приняло вид х, < X < < х2- Вероятность этого неравенства (см. гл. 11, § 2) равна заданной вероятности у, т.е.

Предполагая, что q < 1, перепишем неравенство (*) так: Умножив все члены неравенства на Ssjn -1, получим или

Вероятность того, что это неравенство, а следовательно, и равносильное ему неравенство (*) будет осуществлено, равна

Из этого уравнения можно по заданным п и у найти q. Практически для отыскания q пользуются таблицей приложения 4.

Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый доверительный интервал (*), покрывающий а с заданной надежностью у, т.е. интервал

Пример 1. Количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема п = 25 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8- Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение а с надежностью 0,95.

Р с ш с и и е. По таблице приложения 4 по данным у = 0,95 и п = 25 найдем q = 0,32.

Искомый доверительный интервал (*) таков:

3 а м е ч а н и с. Выше предполагалось, что q< 1. Если q > 1, то неравенство (*) примет вид (учитывая, что а > 0)

или (после преобразований, аналогичных случаю q < 1)

Следовательно, значения q > 1 могут быть найдены из уравнения

Практически для отыскания значений q> 1, соответствующих различным заданным п и у, пользуются таблицей приложения 4.

Пример 2. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема гг = 10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,999.

Решение. По таблице приложения 4 но данным у = 0,999 и п= 10 найдем q = 1,80 (q > 1). Искомый доверительный интервал таков:

Пояснен и е. Покажем, что плотность распределения % имеет вид (**).

Если случайная величина X распределена по закону %2 с k = п - 1 степенями свободы, то ее плотность распределения (см. гл. 12, § 13)

или после подстановки k-n - 1 Воспользуемся формулой (см. гл. 12, § 10)

чтобы найти распределение функции % = ф(Х) = Vx (% > 0). От сюда обратная функция

Так как % > 0, то | |/'(Х) I= 2/, следовательно,

Выполнив элементарные преобразования и изменив обозначения (g (х) заменим на R (%, п)), окончательно получим

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >