Полная версия

Главная arrow Техника arrow АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ НА ТЭС

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Как вытекает из иерархии управления и функций АСУТП, одной из основных задач АСУТП является оптимизация статических и динамических режимов. Многие задачи оптимизации технологических процессов можно представить как задачи нахождения экстремумов функции п переменных при различного рода ограничениях. Теория и методы решения таких задач составляют дисциплину, называемую математическим программированием.

К задачам оптимизации, решаемым методами математического программирования, относят, такие как, например, распределение нагрузок между параллельно работающими котельными агрегатами на общую паровую магистраль, выбор оптимального варианта технологии, оптимизация процесса горения топлива в топках парогенераторов и т. п.

Постановка задач статической оптимизации

Прежде чем перейти к постановке задач статической оптимизации, остановимся на некоторых определениях. Как правило, возникновение задач оптимизации основано на том, что существует множество решений, среди которых возможно наилучшее. Множество чисел, по которым производится количественное сравнение решений, называется целевой функцией. Аргументами в целевой функции являются входные варьируемые параметры. В зависимости от решаемой задачи целевые функции могут выражать величины, характеризующие показатели качества, технико-экономические показатели или чисто экономические показатели процесса.

Обычно целевая функция является математическим выражением результата процесса. Задание целевой функции есть лишь часть общей постановки задачи оптимизации. Другая часть состоит в задании условий, которым должны удовлетворять варьируемые переменные и само решение.

Обычно соотношения между переменными не являются произвольными, а задаются конкретными зависимостями, определяемыми исходя из физической или иной природы оптимизируемого процесса. Представленные в форме уравнений или систем уравнений эти зависимости являются не чем иным, как математическими моделями процесса. Математические модели процесса, устанавливающие зависимости между переменными, а также пределы физически возможных или допустимых изменений варьируемых переменных, в задачах оптимизации выступают в виде ограничений. В дальнейшем изложении задачи оптимизации будут рассматриваться в предположении, что математические модели, определяющие целевые функции и взаимосвязи переменных, заданы в виде статических зависимостей.

Приведем некоторые примеры постановки задач оптимизации.

Вписанный в окружность прямоугольник

Рис. 1.3. Вписанный в окружность прямоугольник

Пример 1

Геометрическая задача

Пусть требуется вписать в окружность заданного радиуса г прямоугольник максимально возможной площади (рис. 1.3).

В декартовой системе координат уравнение окружности: х2 + у2 = г2.

Если обозначить координаты вершины прямоугольника в первом квадранте как х и у, то площадь прямоугольника s = 4 • ху и математическая постановка задачи оптимизации запишется в виде

при выполнении условий: х2 + у2 - г2 = 0, х > 0, у > 0.

Пример 2

Аппроксимация экспериментальных переходных характеристик

Аппроксимация экспериментальных переходных характеристик осуществляется с целью идентификации технологических объектов управления.

Пусть для объекта с передаточной функцией

и, соответственно, с переходной характеристикой

получена экспериментальная переходная характеристика.

Требуется определить, такие значения постоянных времени Т] и Г2 передаточной функции объекта, при которых достигается наилучшая близость экспериментальной y(t) и аппроксимирующей ya(t) переходных характеристик (рис. 1.4).

Переходные характеристики объекта управления и определение значений уj и tj (/ = 1,2, ..., к)

Рис. 1.4. Переходные характеристики объекта управления и определение значений уj и tj (/ = 1,2, ..., к)

Близость экспериментальной у(/) и аппроксимирующей ya(t) переходных характеристик может количественно характеризоваться целевой функцией вида

Такая целевая функция определяет средний квадрат отклонения аппроксимирующей ya(t) переходной характеристики от экспериментальной у(/). Нетрудно видеть, что такая целевая функция учитывает существенность больших отклонений и незначимость малых.

Рассматриваемый критерий оптимальности / зависит от двух переменных Г, и Г2, которые по условиям задачи могут принимать значения

Г, >0, Т2 > 0, т. е. на «свободные» переменные накладываются ограничения (условия) в виде неравенств.

Оптимизационная задача формализуется в следующем виде: найти переменные 7] > 0 и 7] > 0, обеспечивающие минимум критерия

Таким образом, задача наилучшей аппроксимации экспериментальной переходной характеристики может быть сформулирована в виде задачи на условный минимум функции двух переменных.

Пример 3

Параметрическая оптимизация АСР

Параметрическая оптимизация (синтез) АСР заключается в таком определении параметров настройки регулятора, при которых обеспечивается, в определенном смысле, наилучшее качество процесса регулирования.

Пусть регулятор в АСР формирует ПИ-закон регулирования с двумя параметрами настройки кр и Тц:

или

где р(/) - регулирующее воздействие, а с(/) - ошибка регулирования.

Пусть также качество переходных процессов в АСР количественно определяется величиной интегрального квадратичного критерия

Считается, что чем меньше 72, тем выше качество работы АСР. Зависимость функции 72 от к и Ти задана в неявном виде. Для определения 72 при известных значениях кр и Ти необходимо решить систему, состоящую из дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления

уравнения динамики регулятора, а также условия замыкания системы отрицательной обратной связью

где .?(/) = !(/) - задающее воздействие; *,(/) - регулируемая величина; X; - фазовые координаты объекта.

Непосредственное применение критерия /2 приводит к повышенной колебательности переходных процессов. Поэтому необходимо дополнительно ввести ограничение на величину степени колебательности переходных процессов т

где - заданное значение степени колебательности.

зад

Таким образом, задача определения оптимальных параметров настройки к и Ти ПИ-регулятора, обеспечивающих наилучшее качество переходного процесса в АСР, записывается в следующем формализованном виде.

Необходимо найти такие параметры кр и Ти, которые обеспечат минимум интегральной оценки

при выполнении уравнений связи

и ограничения в форме неравенства

Итак, рассмотренная задача является задачей на условный экстремум функции двух переменных.

Пример 4

Выбор места размещения управляющей вычислительной машины на территории предприятия

При выборе места размещения управляющей вычислительной машины (УВМ), предназначенной для автоматизированного управления технологическими объектами, заранее известны места установки датчиков и исполнительных механизмов. Требуется определить такое место расположения УВМ, при котором минимизируются расходы на кабельную продукцию.

В этой задаче за функцию цели можно принять суммарную стоимость кабельных линий от УВМ к датчикам и исполнительным механизмам.

Обозначим координаты расположения УВМ на плоскости как х и у, а известные координаты датчиков и исполнительных механизмов как {хр у.}, i = 1, п, где п - общее число датчиков и исполнительных механизмов. Тогда критерий выбора места расположения УВМ (целевую функцию) / можно представить как сумму отрезков от неизвестной точки {х, у) до известных точек {х^у^, i = 1, п с учетом стоимости применяемых видов кабельной продукци:

где X, - стоимость единицы длины /-го вида кабельной продукции.

Задача оптимизации заключается в том, что требуется найти такие значения х и у, при которых критерий оптимальности 1(х,у) достигнет

минимального значения. Причем переменные х и у могут принимать различные вещественные значения на интервале (-оо,+оо).

Сформулированная задача оптимизации представляет собой задачу на безусловный экстремум функции двух переменных.

Пример 5

Выбор места размещения управляющей вычислительной машины в пределах производственного здания предприятия

Постановка рассматриваемой задачи отличается от постановки предыдущей задачи лишь наличием ограничений на варьируемые переменные .V и у, которые определяются размерами здания.

Пусть координаты здания ха, уа xh, yh. Тогда варьируемые переменные могут изменяться лишь в диапазоне, определяемом размерами здания

Эти неравенства определяют множество G допустимых решений задачи оптимизации:

где символ « |» означает «таких, что».

Требуется найти такие x4yeG, при которых обеспечивается минимум критерия 1(х,у) т. е. min /(х9у).

Приведенная задача является задачей на условный экстремум функции многих переменных.

Пример 6

Оптимальное распределение нагрузки между параллельно работающими котельными агрегатами

Задача оптимального распределения нагрузки между котельными агрегатами, работающими на общую паровую магистраль, заключается в минимизации общего расхода топлива (максимизации общего КПД) котельных агрегатов при обеспечении суммарной их паропроизводи- тельности на заданном значении.

Общий расход топлива обозначим через В, а расход топлива на /-й котельный агрегат через Вг Тогда критерий оптимальности

где dj - паропроизводительность /-го котельного агрегата, G - заданная суммарная паропроизводительность рассматриваемой группы из п котельных агрегатов при заданных параметрах пара (температура и давление), тах - максимальная паропроизводительность /-го котельного агрегата.

При оптимальном соотношении «топливо-воздух» расход топлива на котельный агрегат зависит от нагрузки котла

и постановка задачи оптимального распределения нагрузки между котельными агрегатами примет вид

при выполнении условий

Сформулированная задача является задачей по определению минимума функции п переменных, на которые наложены ограничения (задача на условный экстремум функции многих переменных).

Таким образом, в математической постановке задачи оптимизации сводятся к поиску экстремума некоторых функций от переменных Х,х2У...9хп:

при условии что аргументы х{ должны удовлетворять ограничениям, представленным либо в форме равенств:

либо в форме неравенств:

либо представленным в обеих формах одновременно; тик- число уравнений, представленных соответственно в форме равенств или неравенств. Кроме того, считаются заданными пределы изменения варьируемых переменных:

При решении задач оптимизации широко используются аппарат матричной алгебры и теории множеств. Переходя к векторно-матричной форме записи, управляемые переменные представим как вектор-столбец

Полагая для определенности, что необходимо найти минимум по X целевой функции /(Х) = f{X), задачу оптимизации можно представить в следующей стандартной форме:

при

При необходимости найти максимум целевой функции задачу можно свести к предыдущей, если искать:

Ограничения типа *>0 называют прямыми; типа ф(Аг)>0 - функциональными.

В задачах оптимизации ограничения задают множество действительных числовых значений, которые допустимы для варьируемых переменных X. Такое множество называют допустимым. Множество всех действительных чисел иногда обозначают R.

Тогда указание на то, что X является любым элементом множества R (любым действительным числом) следует из записи X eR. Встречаются ситуации, когда допустимое множество не содержит значений X, для которых выполняются все ограничения. В таких случаях говорят, что множество пусто. Пустое множество принято обозначать 0. Например, М = 0, где М - некоторое множество. Если допустимое множество, заданное ограничениями, пусто, то ограничения называют несовмест имыми.

Допустимые множества могут быть замкнутыми или открытыми. Рассмотрим множество п переменных (Xj, х2, хп). Если для всех переменных существуют пределы, которые принадлежат множеству, то говорят что множество замкнуто. Иными словами, если множество задано системой ограничений, которая охватывает все переменные, и ограничения принадлежат множеству, то множество всегда замкнуто. Если допустимые значения не могут существовать на границах, то множество открыто.

В качестве примера рассмотрим множество X, элементы которого обладают тем свойством, что их численные значения должны быть между нулем и а. Формально такое множество может быть представлено записью:

где в фигурных скобках обозначены элементы, которые принадлежат множеству, и условия, которым они должны удовлетворять.

Заданное множество открыто, т. к. граничные значения 0 и а не принадлежит множеству X. Множество будет замкнутым, если х удовлетворяют условию 0 < х < а.

В дальнейшем, вводя ограничения, будем предполагать, что они замыкают допустимое множество. Это условие является достаточно важным, т. к. задача оптимизации, заданная на открытом множестве, часто не имеет решения. Чтобы показать это, рассмотрим задачу максимизации линейной целевой функции /(х) = х при условии, что х есть элемент множества X. Для каждого х, достаточно близкого к а, существует х > х. Следовательно f[x) не достигает максимума. Если О < л- < а, то шах/(х) = а.

В рассмотренном примере исследовалась целевая функция, оптимальное значение которой достигается на границе. В общем случае, когда целевые функции нелинейны, оптимум может достигаться не только на границах, но и внутри допустимого множества. Не исключено, что целевая функция будет достигать экстремального значения в нескольких точках допустимого множества.

В связи с этим принято различать локальные и глобальные экстрс-

*

мумы целевой функции. Говорят, что вектор X доставляет функции f(X) глобальный максимум на множестве R, если fX*> f(X) для

всех X gR. Если же f^Xj>/(^) только для X, принадлежащих некоторой малой окрестности У, то говорят, что X доставляет локальный максимум. Решая задачу оптимизации, во всех случаях стремятся найти глобальный экстремум. Однако большинство вычислительных методов не позволяет различать вид экстремума. Поэтому естественно было бы найти достаточно общие условия, гарантирующие, что целевая функция является одноэкстремальной, т. е. глобальный экстремум совпадает с локальным. Из чисто физических соображений поиск таких условий оправдан тем, что в действительности целевые функции в очень многих задачах оптимизации являются одноэкстремальными. С формальной точки зрения такие условия существенно облегчили бы поиск оптимума и доказательство его существования. В математическом программировании устанавливается, что функция является одноэкстремальной, если она строго выпуклая и задана на выпуклом множестве. Для того чтобы определить эти свойства, рассмотрим две точки (х, и х2) некоторого множества R. Из аналитической геометрии известно, что совокупность точек вида

образует отрезок с концами в точках и х2 (здесь 0 < X < 1).

Множество R называют выпуклым, если вместе с любыми двумя точками хь х2 е R оно содержит и соединяющий их отрезок

Функция f(x) называется вогнутой (выпуклой вверх), если для любых двух точек jcj и х2, принадлежащих множеству, выполняется условие:

Если /{Х-х,+(1-Я)-д;2}>Я-/(л:|) + (1-Х)-/(.г2), то функция называется просто выпуклой.

Геометрическая интерпретация выпуклой функции приведена на рис. 1.5, выпуклых областей - на рис. 1.6.

В настоящее время разделы математического программирования, основанные на исследовании вогнутых (выпуклых) функций, заданных на выпуклых множествах, разработаны наиболее полно и составляют основу теории оптимизации.

В этих разделах, в зависимости от вида функции f{X) и <р .(ДГ), принято различать следующие типы задач оптимизации.

1. Если f[X) и фу(ЛГ) (у =1, 2,..., к) являются нелинейными вогнутыми или выпуклыми функциями, то задачу оптимизации называют задачей выпуклого программирования.

2. Существует обширный класс технологических объектов, для которых в области допустимых изменений переменных ограничения могут быть приняты линейными:

а целевая функция представляет собой полином, который содержит члены до второго порядка включительно:

где by, ajk, Pi - коэффициенты.

Пример выпуклой функции

Рис. 1.5. Пример выпуклой функции

Выпуклая (а) и невыпуклая (б) области

Рис. 1.6. Выпуклая (а) и невыпуклая (б) области

Оптимизацию квадратичных целевых функций при линейных ограничениях называют задачей квадратичного программирования. Очевидно, что задача квадратичного программирования есть частный случай задачи выпуклого программирования.

3. В задачах оптимизации технологических процессов важное место занимает случай, когда не только ограничения, но и целевая функция являются линейными. Оптимизация линейных целевых функций при линейных ограничениях представляет собой задачу линейного программирования.

Хотя по определению линейные функции являются выпуклыми и задача оптимизации линейных целевых функций может трактоваться как задача выпуклого программирования, переход от нелинейных целевых функций к линейным существенно упрощает процедуру поиска экстремума.

В задачах выпуклого и квадратичного программирования экстремальное значение целевой функции может соответствовать произвольному значению X из допустимого множества. В задачах линейного программирования оптимальное решение, если оно существует, всегда лежит на границе допустимого множества, что сужает область поиска.

Условно решение задач математического программирования можно представить как двухэтапную процедуру, которая включает опознавание (идентификацию) оптимальной точки и ее поиск.

Методы опознавания оптимальной точки опираются на необходимые (или необходимые и достаточные) условия оптимальности и сводятся к проверке на соответствие этим условиям координаты анализируемой точки.

Методы поиска оптимальной точки представляют собой некоторые алгоритмы целенаправленного движения от неоптимальной точки к оптимальной.

В задачах выпуклого программирования поиск оптимальной точки сводится к вычислению целевой функции в ряде точек из области ее задания. В задачах линейного программирования допустимое множество задастся линейными уравнениями, которые, пересекаясь, образуют выпуклый многогранник - симплекс. Решение такой задачи находится в его вершине. Так как число вершин конечно, то поиск оптимальной точки сводится к целенаправленному перебору вершин и проверке их на оптимальность. Процедура поиска оптимального решения в задачах программирования носит название симплекс-метода.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>