ОПТИМИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Изучение задач нелинейного программирования удобно начинать с оптимизации целевых функций без ограничений, т. к. при относительной простоте эти задачи позволяют продемонстрировать общую методологию оптимизации и содержание ряда вычислительных процедур.

Оптимизации нелинейных целевых функций без ограничений

Простейшей задачей оптимизации является нахождение экстремума функции одной переменной. Из математического анализа известно, что для функции /(*), определенной на множестве действительных чисел R и имеющей первую и вторую производные для любого х, принадлежащего этому множеству, необходимое условие экстремума функции в точке д; = х* заключается в равенстве нулю первой производной.

Приведенное выражение называют условием стационарности, а точку * = **, в которой выполняется это условие, называют стационарной. Однако равенство нулю производной является только необходимым условием экстремума. Это очевидно, например, из того факта, что горизонтальная прямая также удовлетворяет этому условию.

Достаточные условия экстремума функции заключаются в равенстве нулю первой производной и определяются знаком второй произвол- v * _

ной в точке х = х . Достаточным условием минимума в точке стационарности является положительность второй производной:

достаточным условием максимума - ее отрицательность:

Рассмотрим теперь скалярную функцию п переменных f(X) и определим в каждой точке области задания этой функции вектор, состоящий из частных производных функции, - вектор-градиент функции

Из математического анализа известно, что необходимое условие экстремума функции заключается в равенстве нулю ее вектор-градиента

Достаточные условия определяются знакоопределенностью матрицы вторых производных - матрицы Гесса:

Положительная определенность матрицы Гесса (все главные миноры матрицы строго положительны) дает достаточное условие минимума функции. Отрицательная определенность матрицы Гесса (четные главные миноры положительны, а нечетные отрицательны) является достаточным условием максимума функции.

Если же условия положительной и отрицательной определенности матрицы Гесса не выполняются, но все главные миноры отличны от нуля, то в исследуемой точке X* функция jX) не имеет ни максимума, ни минимума. При обращении в нуль главных миноров матрицы Гесса вопрос о наличии экстремума в исследуемой точке решается сложнее, с использованием производных более высокого порядка.

Необходимые и достаточные условия экстремума позволяют распознать оптимальную точку, а иногда определить и координаты оптимальной точки.

Действительно, пусть целевая функция f(X) известна. Тогда, вы-

df{X)

числив компоненты вектора-градиента —-—- и приравняв их нулю,

дх,-

получим систему из п уравнений, решая которую найдем координаты искомой точки X. Рассмотренный метод решения задачи по определению точки экстремума называют прямым. Приведем примеры применения прямого метода.

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию

Решение

л ^ dfi-*)

1. Определяем —

dx

2. Условие стационарности:

3. Находим корни этого уравнения, как точки, «подозрительные» на экстремум:

4. Определяем вторую производную:

5. В точке л: = ДГ| функция имеет минимум В точке х = х2 функция имеет максимум Решение закончено.

Пример 2

Исследовать на экстремум функцию Решение

1. Находим компоненты вектор-градиента:

  • 2. Приравниваем компоненты вектор-градиента нулю:
  • 9 • jc,2 — 1=0; 3 • *2 - 6 • х2 = 0, откуда находим точки стационарности:

  • 3. Составляем матрицу Гссса:
  • 4. Для первой точки стационарности матрица Гесса:

Первый главный минор А, = 6 > 0.

Второй главный минор Д2=6-(-6)-0-0 = -36<0.

Таким образом, матрица Гесса не является ни положительно, ни отрицательно определенной, т. е. в первой точке функция не имеет экстремума (максимума или минимума).

5. Для второй точки стационарности матрица Гесса:

Матрица Гесса положительно определена, т. е. во второй точке функция имеет минимум.

6. Для третьей точки стационарности матрица Г есса:

Матрица Гесса отрицательно определена, т. е. в третьей точке функция имеет максимум.

7. Для четвертой точки стационарности матрица Гесса:

Матрица Гесса не является ни положительно, ни отрицательно определенной, т. е. в четвертой точке функция не имеет экстремума.

На этом исследование функции на экстремум закончено.

Если целевые функции не являются достаточно простыми, то применение прямых методов может не дать желаемых результатов.

Тогда для определения X*, оптимизирующего f(X), применяют итерационные методы. Особое значение итерационные методы приобрели в связи с появлением ЭВМ.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >