Полная версия

Главная arrow Техника arrow АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ НА ТЭС

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Методы сопряженных направлений

В методах сопряженных направлений используют некоторое характерное свойство квадратичной функции, существенно облегчающее поиск ее экстремума. Остановимся на этом свойстве подробнее.

Векторы S? и S1 называют сопряженными относительно матрицы F, если выполнено условие

Напомним, что выражение вида («,/>) обозначает скалярное произведение векторов а и b, т. е. произведение их длин на косинус угла между ними:

где аиЬ соответственно длины векторов а и Ь.

Частным случаем сопряженных являются взаимно ортогональные векторы. В этом случае матрица F = сЕ (где с - произвольный скаляр, Е - единичная матрица), а условие (1.12) имеет вид:

т. с. превращается в условие ортогональности.

В том случае, когда линии уровня минимизируемой функции двух переменных представляют собой окружности, ортогональные направления обладают замечательным свойством: если поиск минимума ведется по ортогональным направлениям, он приводит к минимуму за два шага. В случае функции п переменных, линии уровня которых - «-мерные сферы, поиск заканчивается не более чем за п шагов (рис. 1.12, а).

Аналогичным свойством по отношению к выпуклой квадратичной функции обладают направления, сопряженные относительно матрицы Гессе (матрицы вторых производных) этой функции (рис. 1.12,6). Если минимизируемые функции не являются квадратичными, но в окрестности точки минимума они могут быть аппроксимированы квадратичными, то метод поиска минимума по сопряженным направлениям обладает хорошей сходимостью.

Отметим, что условие сопряженности (1.12) является скалярным и не позволяет найти вектор S1 по вектору ^ и матрице F. При п - 2 это условие определяет направление вектора; при п > 2 направлений, сопряженных с 5°, бесконечно много. На первом шаге выбирают одно из них; на втором шаге направление S2 выбирают так, чтобы оно было сопряженным с о и s и т. д.

Рис. 1.12. Иллюстрация свойства сопряженных направлений для случая, когда линии уровня функции - окружности (а) и эллипсы (б)

Идея использования сопряженных направлений лежит в основе ряда алгоритмов. Изложим кратко один из них - метод параллельных касательных. Для определения сопряженных направлений по этому методу не требуется знание матрицы Гессе. Он основан на том, что для квадратичной выпуклой функции направление вектора s соединяющего две точки минимума, найденные вдоль двух параллельных касательных, имеющих направление 5°, является сопряженным с 5° относительно матрицы Гессе этой функции.

Первый цикл алгоритма сопряженных направлений

Рис. 1.13. Первый цикл алгоритма сопряженных направлений

На рис. 1.12,6 показаны линии уровня выпуклой квадратичной функции. Они представляют собой вложенные друг в друга эллипсы.

Линия, проведенная через две точки касания к эллипсам параллельных

друг другу прямых Н] и Я2, прохо-

*

дит через центр эллипсов .v , т. е. че- через точку минимума функции.

Точки же касания представляют собой точки минимума функции / вдоль линий Я, и Я,.

Практически удобно на первом шаге алгоритма для проведения параллельных касательных использовать один цикл покоординатного спуска. Действительно, если из точки А0 (рис. 1.13) проведен один цикл покоординатного спуска, приводящий в точку А2, а из этой точки вновь

„1 v3

проведен одномерный поиск по переменной дг,, то точки лил являются точками минимума / на двух параллельных прямых.

Поэтому следующий шаг алгоритма проводят как одномерный поиск вдоль прямой, соединяющей Х] и Х>. В дальнейшем описанный цикл повторяют до выполнения условия останова поиска экстремума. Такую разновидность алгоритма называют методом сопряженных направлений.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>