Полная версия

Главная arrow Техника arrow АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ НА ТЭС

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса

На начальных этапах расчета метод сопряженных градиентов ведет себя как метод первого порядка, а в окрестности оптимума по характеру поведения приближается к методам второго порядка.

Приведенная ниже схема алгоритма (рис. 1.14) поясняет, как реализуется метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса.

Вычислительная схема метода сопряженных градиентов состоит в следующем.

Первый шаг аналогичен первому шагу метода наискорейшего спуска. Второй и следующие шаги выбираются каждый раз в направлении, образуемом в виде линейной комбинации вектор-градиента в данной точке и вектора предшествующего направления. Вычислительная схема строится по следующему правилу (знаки взяты в предположении поиска минимума):

Коэффициент ру 1 выбирается по правилу:

Константа hJ определяется на каждом шаге последовательных приближений, так чтобы функция 1(Х) минимизировалась в направлении dJ.

Схема алгоритма метода сопряженных градиентов

Рис. 1.14. Схема алгоритма метода сопряженных градиентов

При вычислении коэффициента ру_1 для квадратичной функции, когда градиенты V/^Af-7’) и VIX*~X) взаимно ортогональны, вторая сумма в числителе равна нулю.

Для квадратичной функции п переменных точка минимума найдется после п циклов алгоритма. Для функции неквадратичной последовательности из п циклов повторяют, т. е. из точки Хп движутся по направлению антиградиента, как и из точки Х° (рестарт), а затем до точки X2" по сопряженным направлениям и т. д. Процесс поиска заканчивается при выполнении условия останова.

На практике встречается ситуация, когда функция 1(Х) имеет несколько экстремумов. В этом случае необходимо найти глобальный экстремум. Для решения многоэкстремальных задач обычные градиентные методы не эффективны, т. к. поиск может окончиться в одном из локальных экстремумов.

Разработан ряд алгоритмов поиска глобального экстремума многоэкстремальной функции. Наиболее простые основаны на последовательном определении локальных минимумов и максимумов многоэкстремальной функции.

Пусть для определенности рассматривается задача поиска минимума. Процедура поиска строится следующим образом. Из некоторой начальной точки А0 (рис. 1.15) при помощи одного из локальных методов определяется локальный минимум. Запоминаем экстремальное значение вектора координат jrJ}?n и величину /,= V Далее двигаемся

по направлению возрастания функции до тех пор, пока нс найдем экстремум х^1х. Новый поиск минимума функции начинаем с этой точки. Пусть координата нового минимума есть х^п, и /2=/(Если /2 < 1, то запоминаем /2; если /2 > 1, по-прежнему помним /,.

Поиск глобального экстремума многоэкстремальной функции

Рис. 1.15. Поиск глобального экстремума многоэкстремальной функции

В обоих случаях продолжаем двигаться по направлению х^п А2, пока не пройдем точку максимума, и на этом направлении повторяем описанную процедуру. Пусть теперь наименьший из минимумов, найденный по указанной процедуре, есть /min. Процесс поиска заканчивается в том случае, если при поиске точки /min = /(x^in) найдено подряд к минимумов, значения функции в которых больше, чем в точке x*lin.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>