Арифметические действия с двоичными числами

Сложение. Для выполнения сложения применяются следующие правила:

Последнее выражение показывает, что при сложении двух единиц получается единица в более старшем разряде. В качестве примера рассмотрим сложение трех двоичных чисел:

Точно так же выполняется сложение в ЭВМ, где для этой цели используются специальные устройства, называемые двоичными сумматорами.

Вычитание. Для выполнения вычитания применяются следующие правила:

Последнее выражение показывает, что для вычитания 1 из 0 необходимо занять 1 из более старшего разряда. В качестве примера рассмотрим вычитание двоичных чисел:

Для облегчения вычитания вводится понятие дополнения. Дополнением данного целого десятичного числа называют другое целое десятичное число, которое, будучи сложенным с первым, дает число, состоящее из единицы в более старшем разряде (по сравнению со старшим разрядом данного числа) и нулей в остальных разрядах.

Обозначив дополнение буквой d, получим, например, для числа 52: 52 +

Если, например, необходимо вычесть 52 из 95, то это можно сделать так:

95 + 100-52 -100 = 95 +

Таким образом, справедливо следующее правило нахождения разности с использованием дополнения:

• 1. Определить дополнение вычитаемого.
• 2. Сложить полученное дополнение с уменьшаемым.
• 3. Из полученной суммы вычесть число, состоящее из единицы в старшем (по отношению к вычитаемому) разряде и нулей в остальных разрядах.

В двоичной системе действия точно такие же, но осуществляются гораздо проще. Дополнение двоичного числа определяют гак: заменяют все единицы нулями, все нули - единицами и к полученному результату прибавляют единицу в самом младшем разряде. Например, в числе 10011 заменяем единицы нулями, а нули единицами. Получаем число 01100 и к нему прибавляем 1. В итоге d = 1101.

В качестве примера найдем разность двух двоичных чисел 1010 и 101 по изложенному правилу.

• 1. Дополнение вычитаемого: 11.
• 2. Сложим уменьшаемое и дополнение:

3. Вычтя 1000, получим искомый результат:

Умножение. Для выполнения умножения применяются следующие правила:

В качестве примера рассмотрим умножение двух двоичных чисел:

Очевидно, что если имеется нуль в соответствующем разряде множителя, то можно не писать целую строку нулей, а сразу писать следующую строку, смещенную на разряд влево. Также очевидно, что умножение может быть заменено многократным сложением и сдвигом влево.

Деление. Так же, как умножение может быть заменено многократным сложением и сдвигом влево, деление может быть заменено многократным вычитанием и сдвигом вправо.

В качестве примера рассмотрим деление двух двоичных чисел:

Таким образом, в ЭВМ деление заменяется вычитанием и сдвигом, а для нахождения разности используется дополнение.