Модулированные последовательности дельта-импульсов. Математическая модель АЦП

При рассмотренном выше подходе, связь между исходной дискретной последовательностью чисел х[кТ] и эквивалентной ей последовательностью дельта-импульсов x*(t) представляется в виде

в котором каждое число числовой последовательности в тактовый момент времени кТ заменяется дельта-импульсом соответствующей площади.

К модулированной последовательности дельта-импульсов х*(г) уже может быть применено преобразование Фурье

или, вводя замену z=eTp, придем к следующей формуле

которая в теории дискретных систем известна как формула прямого дискретного преобразования Лапласа (z-преобразования).

Приведем основные свойства z-преобразования.

1. Линейности

2. Свойство смещения аргумента в области оригинала

  • 5. Связь начальных и конечных условий
  • 3. Свойство смещения независимой переменной в области изображения

4. Правило дифференцирования изображения

Таблица 4.2 Изображения последовательностей дельта-импульсов, модулированных некоторыми функциями

,(/)

х(р)

X‘{z)

1(0

1

Р

Z

z-1

'?1(0

1

р'

Т-z

(Z-1)2

'2 •!(')

2

з

Р

т2Ф+О

(z-1)2

1

р + а

Z

z-e~aT

где X(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса.

В табл. 4.2 приведены изображения некоторых часто встречающихся функций.

В том случае, когда числовая последовательность х[кТ] получена в результате квантования некоторой непрерывной функции х(/), соответствующая ей модулированная последовательность дельта-импульсов **(/) может быть представлена выражением

00

где б (/)= ^ 6(/-?Г) - немодулированная последовательность дель-

А'=-х

Рис. 4.16

та-импульсов.

Механизм образования модулированной последовательности дельта-импульсов х*(/) можно представить как модуляцию непрерывной функцией *(/) бесконечной последовательности единичных (немодулированных) дельта-импульсов 5*(/) (рис. 4.16) в результате прохождения непрерывной функции .*(/) через элемент, генерирующий модулированные дельта-импульсы (рис. 4.17). Такой элемент получил название дельта-импульсного модулятора и может служить эквивалентной моделью реального АЦП. На схемах цифровых систем дельта- импульсный модулятор обозначается в виде, представленном на рис. 4.17.

Рис. 4.17

Так как функция 5*(/) является периодической, то она может быть представлена в виде ряда Фурье

С учетом этого выражение для модулированной последовательности дельта-импульсов может быть записано в виде

Преобразуя это выражение по Фурье, получим

При p-i со

Спектр модулирующего сигнала

Рис. 4.18. Спектр модулирующего сигнала

Анализ последнего выражения показывает, что действие дельта-импульсного модулятора приводит к размножению спектра модулирующего сигнала вдоль оси частот (рис. 4.18, 4.19).

При этом спектр модулированной последовательности дельта-импульсов является периодической функцией частоты с периодом 2л/7

Обратим внимание на следующее. Если сигнал лг(/) имеет ограниченный спектр

(|Лг(/со)| = 0 при со>сотах), то, применяя фильтр низких частот, можно отфильтровать боковые составляющие спектра Х*(/со) и восстановить непрерывный сигнал на входе в дельта-импульсный модулятор. Очевидно, что такое восстановление непрерывного сигнала возможно лишь при выполнении условия: 2сотах <2к1Т (условие, при котором боковые составляющие спектра не «наезжают» друг на друга). Это условие, записанное в виде Г<я/сотах, представляет собой математическую запись теоремы В.А. Котельникова, которая устанавливает, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть полностью восстановлен по его дискретным значениям при выполнении условия Т <я/сотах, где со^ - максимальная частота в спектре непрерывного сигнала.

Спектр модулированной последовательности дельта-импульсов

Рис. 4.19. Спектр модулированной последовательности дельта-импульсов

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >