Таблицы истинности и классификация формул в КЛВ

Особую роль в логических теориях играет анализ всего комплекса значений, которые формула может принимать при различных интерпретациях нелогических параметров (в данном случае — пропозициональных переменных) как целого. Очевидно, в КЛВ может быть выделено три различных класса формул — те, которые истинны всегда («во всех строчках таблицы»), те, которые не истинны никогда (т.е. всегда ложны), и те, которые иногда ложны, а иногда истинны. Но КЛВ — лишь частный случай логической теории вообще. Поэтому сформулируем общие определения для наименования различных классов формул в зависимости от их возможных значений при разных интерпретациях.

Выполнимая формула — формула, принимающая значение «истина» хотя бы при одной допустимой в данной логической теории интерпретации нелогических параметров, т.е. хотя бы при одном возможном положении вещей (для КЛВ — комбинации значений пропозициональных переменных, т.е. хотя бы в одной строчке таблицы истинности для этой формулы).

Общезначимая формула (тождественно-истинная, логический закон, логическая тавтология) — формула, принимающая значение «истина» при любой допустимой в данной логической теории интерпретации нелогических параметров, т.е. при всех возможных положениях вещей (для КЛВ — во всех строчках таблицы истинности для этой формулы).

Невыполнимая формула — формула, не принимающая значение «истина» ни при одной допустимой в данной логической теории интерпретации нелогических параметров, т.е. ни при одном возможном положении вещей (для КЛВ — ни в одной строчке таблицы).

Тождественно-ложная формула (логическое противоречие) — формула, принимающая значение «ложь» при любой допустимой в данной логической теории интерпретации нелогических параметров, т.е. при всех возможных положениях вещей (в КЛВ — во всех строчках таблицы истинности).

Возникает вопрос — а разве быть невыполнимой формулой и быть тождественно-ложной формулой — не одно и то же? В общем случае (для произвольной логической теории), конечно же, нет. Хотя очевидно, что для системы типа КЛВ множества невыполнимых и тождественно-ложных формул совпадают, ибо не быть истинным и быть ложным для такой теории суть одно и то же (в силу принципа бивалентности). Но в общем случае это совсем необязательно. Если формула (скажем, в логике Лукасе- вича) несколько раз ложна (принимает значение 0), а в остальных случаях неопределенна (1/2), она невыполнима, но не тождественно-ложна. Тогда мы вынуждены ввести еще один класс формул — необщезначимые.

Необщезначимая формула — формула, не принимающая значение «истина» хотя бы при одной допустимой в данной логической теории интерпретации нелогических параметров, т.е. хотя бы при одном возможном положении вещей (в КЛВ — хотя бы в одной строчке таблицы).

Таким образом, в рамках КЛВ множества невыполнимых и тождественно-ложных формул совпадают и составляют собственное подмножество формул необщезначимых, а общезначимые составляют собственное подмножество выполнимых. Графическое изображение отношений между указанными классами — на следующей схеме (рис. 3.1) (только для КЛВ!).

Классификация формул в КЛВ

Рис. 3.1. Классификация формул в КЛВ

В логике часто вводят еще определение собственно выполнимой формулы.

Собственно выполнимая формула — формула, принимающая значение «истина» хотя бы при одной допустимой в данной логической теории интерпретации нелогических параметров и также нс принимающая значение «истина» (для КЛВ — принимающая значение «ложь») хотя бы при одной (другой) такой интерпретации.

Таким образом, мы теперь можем строго уточнить (по крайней мере, в случае КЛВ мы теперь понимаем операциональный смысл этих определений — у нас есть таблицы истинности!) введенные в гл. 1 понятия логического закона, логически истинного высказывания и т.д. (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Типы формул и соответствующих им высказываний

Формула

Высказывание

Тождественно-истинная (общезначимая)

Логически истинное

Т ождественно-ложная

Логически ложное

Собственно выполнимая (выполнимая, но нс общезначимая)

Логически случайное (недетерминированное)

3.3.3. Основные законы КЛВ

Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ (Л и В — произвольные формулы логики высказываний).

1. Закон тождества

А э А

Если высказывание истинно, то оно истинно. Как говорит один из героев «Принцессы Турандот»: «Что есть, то есть, а чего нет, того, извините, нет».

2. Закон непротиворечия

^(Л &-.Л)

Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. «Деточкин, конечно, виноват! Но он... не виноват!»

3. Закон исключенного третьего

A v —1 А

Из двух противоречащих друг другу высказываний, по крайней мере одно истинно. «Вчера Солнце либо поднималось над горизонтом, либо не поднималось.»

  • 4. Закон двойного отрицания
  • -1-1А э Л

Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению. В начале 2011 г. радиостанция «Эхо Москвы» проводила голосование. Вопрос звучал так: «Нужно ли отменить предложение об ограничении прав граждан России определенной национальности?» Наверняка, в такой громоздкой формулировке он на какое-то время озадачил и нацистов, и интернационалистов. Правильнее (в смысле проще) было бы сформулировать вопрос так: «Следует ли ограничивать права граждан России определенной национальности?».

5. Закон утверждения консеквента А => (В о А)

Заведомо истинное высказывание вытекает из чего угодно.

  • 6. Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота)
  • -л Л з (Л з В)

Из заведомо ложного высказывания вытекает все что угодно. Именно закон Дунса Скота лежит в основании таких хлестких риторических фраз: «Говорите, Иванов — футболист? Да если он — футболист, то я — китайский император!» (предполагается заведомая ложность высказывания «Иванов — футболист»).

7. Закон Клавия (-1А зЛ) зЛ

Если из отрицания суждения вытекает оно само, то такое суждение заведомо истинно.

8. Законы де Моргана -I (Л & В) = (-, Л V В)

Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний.

-I (Л v В) = (-, Л & В)

Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

9. Закон контрапозиции (ЛзВ)з(пВ з -1 Л)

Если из одного высказывания вытекает второеt

Август де Морган то из отрицания второго вытекает отрицание перво-

(1806-1871) го Обратное (так называемая обратная контрапози- — ция) тоже справедливо, так что мы имеем (Л з В) =

= (-^В з-iЛ).

Сказать «Если бы он был виновен, он не мог бы быть в это время в Москве» и «Если он был в это время в Москве, значит, он не виновен» - это значит сказать одно и то же.

  • 10. Закон транзитивности импликации
  • ((Л з В) & (В з С)) з (Л з С)

Вариант: ((Л з В) & з С)) з (Л з С))

Если из одного высказывания вытекает второе, а из того — третье, то и из первого высказывания вытекает третье. Пример. Из того, что курс акций падает, если процентные ставки растут, а большинство владельцев акций разоряется, если курс акций падает, вытекает, что если процентные ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется (Э. Мендельсон).

  • 11. Законы дистрибутивности v относительно &, и наоборот
  • (Л v (В & С)) = ((Л v В) & (Л v С))
  • (Л & (В v С)) = ((Л & В) v (А & С))

Они позволяют пронести дизъюнкцию внутрь конъюнктивной формулы, а конъюнкцию — внутрь дизъюнктивной.

12. Закон отрицания импликации => Я) = (Л & В)

Неверно было бы утверждать, повышение налогов приводит к кризису. Это означает, налоги могут быть повышены, а кризис в этом слу

чае так и не наступит.

  • 13. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок
  • 1. (А & Д) s-i (-.А v -i5) — «конъюнкция через дизъюнкцию»
  • 2. (Л & В) = -л (Л э -I В) — «конъюнкция через импликацию»
  • 3. V В) = —< (—А & -Я) — «дизъюнкция через конъюнкцию»
  • 4. (Л V В) а (-, А => В) — «дизъюнкция через импликацию (и отрицание)»
  • 5. (Л V В) = ((Л з В) з В) — «дизъюнкция только через импликацию»
  • 6. (ЛэВ)е(.Л V 5) — «импликация через дизъюнкцию»

/. (Л з В) = —1 (Л & —iB) — «импликация через конъюнкцию»

  • 8. (Л = В) = ((Л з В) & (В з Л)) — «эквиваленция по определению»
  • 9. (Л уВ) = ((Л & -.В) v (В & -Л)) — «строгая дизъюнкция по определению»
  • 10. = — «штрих Нико по определению»
  • 11. (Л | В) = (-гЛ v —iB) — «штрих Шеффера по определению»

С помощью этих законов можно значительно упрощать формулы, выражая одни связки посредством других, а также ограничиваться использованием только минимального количества исходных связок.

Теперь мы понимаем, почему можно говорить, что количество логических законов, собственно говоря, бесконечно. Доказательство этого утверждения донельзя просто и изящно. Если Л — логический закон, то и Aw В — логический закон, вне зависимости от того, что представляет собой формула В.

Выполните упражнения 4—9 из Практикума.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >