Применение классического вариационного исчисления для решения задач оптимального управления

Предметом вариационного исчисления является установление условий, которым должна удовлетворять функция или вектор-функция, доставляющая экстремум функционалу Дх). Если каждой функции x(t), принадлежащей некоторому множеству функций М, x(t) е М, отвечает некоторое число ДхД)], то говорят, что на множестве М задан функционал.

Дано множество допустимых функций М, принадлежащее области задания функционала 1(х). Требуется найти необходимые условия того, чтобы для функции x(t) функционал 1(х) достигал экстремума. Функции, входящие в множество допустимых функций, подчинены ограничениям двоякого характера. С одной стороны, ограничения носят теоретико-функциональный характер, например гладкость функции или однозначность функции. С другой стороны, эти ограничения на функции непосредственно вносятся в условия задачи. Однако и в том и в другом случаях множество допустимых функций вытекает из постановки задач и из правомочности употребляемых в постановке математических категорий.

Необходимое условие экстремума функционала. Пусть задан функционал Дх) на множестве допустимых функций М, x(t) е М и функция x(t) доставляет экстремум функционалу Дх). Полагаем, что проварьи- рованные функции x(t) принадлежат однопараметрическому семейству функций x(t) = x(t) + а • r|(t) и множеству допустимых функций М, x(t) е М. При достаточно малых а (в смысле расстояния между x(t) и x(t)) Дх)> Дх) в случае минимума и Дх)<Дх) — в случае максимума.

Приращение функционала

где 0(а2) — члены более высокого порядка малости; 61 =—|а=0 а —

da

характеризует линейную часть приращения функционала и носит

d2/

название первой вариации функционала; б2/=—г|аа2вторая вариация функционала. da

Исходя из необходимых условий обыкновенного экстремума функции, можно написать необходимые условия экстремума функционала:

1) первая вариация должна обращать в нуль,

2) вторая вариация в случае минимума неотрицательна,

3) в случае максимума — неположительна,

К последним результатам можно перейти исходя из любого другого параметрического семейства функции х.

Задача на безусловный экстремум. Применим полученные результаты к решению простейшей задачи вариационного исчисления. Дан функционал

где F(x,x,t) — заданная непрерывная функция аргументов х, х и t, кроме того, существуют и непрерывны ее частные производные до второго порядка включительно.

Функция х = x(t) удовлетворяет граничным условиям

и принадлежит классу Q. Требуется найти необходимые условия, которым должна удовлетворять функция x(t), доставляющая экстремум функционалу Дх).

Геометрическая интерпретация задачи ясна из рис. 2.1. Среди всех гладких линий, соединяющих две данные точки, найти ту, вдоль которой функционал Дх) принимает экстремальное значение, или найти условия, которым она должна удовлетворять.

Геометрическая интерпретация задачи на безусловный экстремум

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация задачи на безусловный экстремум

Для вывода условия возьмем проварьированную функцию x(t) = x(t) + а • r|(t), где x(t) дает экстремум функционалу, а — произвольный параметр, тДг) — произвольная функция класса С1; для которой Л(Д) = П (Д) = 0.

Применяя к задаче Эйлера необходимое условие (2.4), учитывая произвольность параметра а и коммутативность интегрирования по t и дифференцирования по а, получаем

Дифференцирование по правилу дифференцирования сложной функции дает

где нижний индекс указывает на частную производную от функции по этому аргументу.

Если проинтегрировать второе слагаемое по частям, то получим

Так как в силу t| (f0) = Г) (ta) = 0 второе слагаемое равно 0, предыдущее уравнение можно записать в виде

Учитывая, что Г| (t) — произвольная функция, а ц (t) е Сь на основании леммы Лагранжа получим уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка в полных производных. Чтобы убедиться в этом, достаточно представить полную производную в уравнении Эйлера (2.6) в виде

откуда следует

Если Fja Ф 0, то общий интеграл имеет вид

и называется семейством экстремалей.

Если существует функция x(t), дающая экстремум функционалу, то для ее определения остается найти с1 и с2. Для этого воспользуемся условиями:

Полученные с] и с2 подставляем в выражение для семейства экстремалей.

Обобщим результаты на функционалы общего вида.

1. Функционал зависит от производных высшего порядка.

Дан функционал

и функция х(0 е Ст, удовлетворяющая граничным условиям

Требуется доказать, что если x(t') дает экстремум функционалу, то она удовлетворяет уравнению

Для доказательства воспользуемся необходимым условием экстремума функционала 81=0. Преобразуем выражение для 81. Выполнив операции, аналогичные использованным для вывода (2.5), получим

Интегрируя второе, третье и дальнейшие слагаемые соответственно один, две и далее число раз и используя граничные условия

будем иметь

Используя основную лемму Лагранжа, окончательно получим уравнение Пуассона

Семейство экстремалей содержит 2т произвольных постоянных

Для нахождения произвольных постоянных, а следовательно, конкретной экстремали, используем граничные условия (2.7).

зо

2. Функционал зависит от п функций.

В этом случае функционал в векторной форме имеет вид

Вектор-функция лг(0 е С} удовлетворяет граничным условиям:

Докажем, что если x(t) дает экстремум функционалу, то она удовлетворяет векторному уравнению

Для доказательства воспользуемся следующими рассуждениями. Зафиксируем все функции x,(t) (г * к), кроме xk(t). Тогда функционал 1(хк) зависит только от одной функции. В силу необходимого условия экстремума функционала Ы = 0 и (2.6) получим уравнение Эйлера

Повторяя приведенные рассуждения для всех к = 1,2,..., п, получим систему уравнений Эйлера

3. Функционал зависит от вектор-функции и ее производных до т-го порядка.

Этот случай может рассматриваться как обобщение двух предыдущих. Функционал имеет вид

где x(t) — вектор-функция, удовлетворяющая соответствующим граничным условиям. Можно доказать, что вектор-функция, дающая экстремум функционалу, удовлетворяет векторному уравнению Пуассона

Решение задач на условный экстремум. Ознакомимся с решением задач на условный экстремум на примере изопериметрических задач. Этот класс назван так по наименованию одной из них со следующей формулировкой: среди линий равной длины найти ту, которая охватывает наибольшую площадь (см. рис. 2.1).

Действительно, длина линии известна, т.е.

площадь под линией

Класс задач, в которых в качестве дополнительных условий выступает интеграл, называется классом изопериметрических задач.

Общая постановка изопериметрической задачи: требуется найти необходимые условия, которым должна удовлетворять функция x(t), дающая экстремум функционалу

при выполнении следующих дополнительных условий:

Функция x(t) е С] удовлетворяет граничным условиям

Предположение о характере подынтегральных функций F(x, х, t) и Gj(.x,x, t), i = l, 2, ...,m аналогично предыдущим.

Решение этой задачи проведем для случая скалярной функции x(t) и при одном дополнительном условии т = 1.

Пусть функция x(t) дает экстремум функционалу 1(х). Проварьи- рованную функцию x(t) возьмем в двухпараметрическом семействе функций

где r|i(t) и т|2М — произвольные независимые функции, удовлетворяющие граничным условиям

ах и а2 — произвольные, зависящие друг от друга параметры. Найдем связь между ах и а2 таким образом, чтобы для проварьированной функции обеспечивалось постоянство /х = ах.

Для вывода воспользуемся необходимым условием в виде

так как условие постоянства функционала и необходимое условие экстремума совпадают.

Преобразуя согласно (2.4) выражение (2.12), получим После дифференцирования сложной функции будем иметь Отсюда связь между аг и а2:

Необходимое условие экстремума функционала 7(х) для двухпараметрического семейства записывается в виде

После выполнения действий над функционалом 1(х), аналогичных предыдущим, заменяя формально в выражении (2.12) функцию G на F, найдем

Учитывая связь (2.14а), налагаемую условием постоянства интеграла 71(х) = а1 для допустимых вариаций функции x(t), выражению (2.15) можно придать вид

f^+F^dt

где Я = —j—--неопределенный множитель или множи-

J (С;ПЪ +С*П2 )*

fo

тель Лагранжа.

зз

После интегрирования по частям последнее выражение переписывается в виде

Введем промежуточную функцию

Учитывая свойства производной, получим

и окончательно уравнение ЭйлераЛагранжа запишется как

Теперь можно сделать следующий важный вывод: задача на условный экстремум сведена к задаче на безусловный экстремум относительно промежуточной функции H(x,x,t)-

Решение уравнение Эйлера — Лагранжа дает семейство экстремалей х=х(р,СС2М- Если экстремум существует, то для нахождения функции, дающей экстремум функционала, достаточно воспользоваться уравнениями

Найденные С12,'к подставляются в выражение для семейства экстремалей.

В случае общей постановки изопериметрической задачи при наличии т дополнительных условий (2.12) выражение для промежуточной функции записывается в виде

а уравнение Эйлера — Лагранжа сохраняется прежним.

Задачи Лагранжа, Майера и Болъца. Постановка задач. Среди всех гладких вектор-функций x(t), удовлетворяющих дополнительным условиям

где п — размерность вектор-функции x(t), и граничным условиям найти ту, которая дает экстремум функционалу

Для задачи Лагранжа справедливы уравнения Эйлера — Лагранжа

Промежуточная функция определяется выражением

где ЯДО — неопределенные функции или функции Лагранжа.

Для определения п + т неизвестных функций x(t) и A.(t) имеем п+т уравнений (2.17), (2.18).

Задача Майера может быть сведена к задаче Лагранжа, если функционал переписать в виде

Задача Больца также сводится к задаче Лагранжа введением вспомо- dG

гательнои переменной х =—.

Задачи с подвижными концами. Условия трансверсальности. Многие практические приложения сводятся к случаю, когда граничные условия не являются фиксированными, а задаются функциями. Например, начальная точка лежит на кривой х = cp0(t), а конечная точка — на кривой X = ф!(0-

Нетрудно показать, что и в этом случае семейство экстремалей дается уравнениями Эйлера — Лагранжа. Предположим, найдена функция, доставляющая экстремум функционалу и концами лежащая на cp0(t) и cpj(t) соответственно в точке 0 и в точке 1 (рис. 2.2).

Эта функция x(t) может быть только экстремалью, так как в противном случае эти точки могут быть соединены другой кривой, для которой функционал принимает большее или меньшее значение. Однако для нахождения положения концов экстремали этих условий недостаточно.

Геометрическая интерпретация задачи с подвижными концами

Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация задачи с подвижными концами

Для нахождения дополнительных условий введем выражение для вариации функционала, как от изменения вида функции, так и вариации концов.

Приращение функционала

при переходе от функции x(t), дающей экстремум функционалу 7(х), к функции x(t) = х(0 + аг|(0 может быть записано в виде

Выделим линейную часть приращения функционала — общее выражение для вариации функционала

С точностью до бесконечно малых высшего порядка:

Следовательно, общее выражение для вариации функционала можно переписать в виде

В полученном выражении для полной вариации функционала интегральный член характеризует вариацию функции внутри интервала интегрирования. Остальные члены получаются за счет вариации концов.

Учитывая, что с точностью до бесконечно малых высшего порядка справедливы зависимости

а также необходимое условие экстремума функционала 81 = 0, получим Отсюда в силу независимости приращений следуют условия

Эти условия называются условиями трансверсальности. Они позволяют найти две неизвестные постоянные в семействе экстремалей. Разрывные задачи. Можно показать, что экстремум достигается

и на кусочно-гладких функциях, имеющих изломы при F** = 0. Напри-

1

мер, минимум функционала 1= J x2(l-x)2df при граничных условиях

-1

х(-1) = 0, х(1) = 1 равен нулю и достигается на функции

Действительно, =2х2, следовательно, при х = 0 изломы возможны. Найдем условия, которые должны выполняться в точке излома.

ч

Пусть функция, доставляющая экстремум функционалу / = J F(x, х, t)dt, имеет один излом в точке t*. to

Представим функционал в виде суммы двух интегралов

Куски функции x(t) на каждом отрезке являются экстремалями. Тогда приращение каждого функционала на основании (2.19а)

Учитывая необходимое условие экстремума 81 = 81г +812 - 0, получим откуда вследствие произвольности At* и Ах* получим условия

Эти условия называются условиями ЭрдманаВейерштрасса. Они позволяют определить четыре произвольные постоянные в решении уравнений Эйлера для разрывной задачи.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >