Полная версия

Главная arrow Статистика arrow СТАТИСТИКА

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.

Пусть с — const и %i = с для всех i = 1,2, ..., п, тогда, учитывая свойства средней арифметической и подставляя в (4.10) с вместо xjt получим

2. Если ко всем т, прибавить с, то дисперсия не изменится.

Пусть х} +с, для всех i = 1, 2, ..., п и с — const, тогда учитывая (4.10) и свойства средней арифметической, получим

3. Если все х{ умножить на С, где С — const, то дисперсия увеличится в С2 раз.

Пусть с-Х-, для всех i = 1, 2, ..., п, тогда S2x = с2 -S2x;

4. Пусть yi = сх. +6 для всех г - 1, 2, ..., п и 6, с-const.

Тогда S2 = ~YJ{cxi +b)-(cx + b)f =c2—^(xi -х)2.

п i=i П ,=1

И окончательно S2 = S2^+b = с2 -S2.

Размах вариации равен разности между максимальным и минимальным значениями признака.

где х = х, , — максимальное, х . = дг/1Ч — минимальное значение при-

знака. Размах вариации и среднее квадратическое отклонение связаны примерным соотношением

Коэффициент вариации является единственным безразмерным показателем вариации

Пример 4.13

Сравните точность обработки диаметра корпусов двух видов. Для этого было отобрано по п = 10 корпусов каждого вида, у которых измерены диаметры корпу-

сов. Но результатам измерения получено: пл = 10; хх= 50 мм; 5, = 1 мм и п2= 10; х2 = 500 мм; 52 = 1 мм. Отсюда коэффициенты вариации для корпусов двух видов:

Таким образом, точность изготовления деталей второго вида значительно выше. Моменты распределения

Моментом &-го порядка называют среднюю арифметическую k-й степени отклонения наблюдаемых значений xt (i= 1, 2,п) от постоянной с, т.е.

)

При с = 0 имеем начальный момент k-го порядка Из (4.15) следует, что при k = 0 имеем Ьк = 1;

k = 1 имеем в, = Ху т.е. средняя арифметическая есть начальный момент первого порядка;

k = 2 и начальный момент второго порядка = х2 = — ^г2 есть средняя

П ,=1

арифметическая квадрата значения признака.

Как правило, рассматривают моменты до четвертого порядка включительно, т.е. k = 1, 2, 3, 4.

При с= х имеем центральные моменты:

Из (4.16) следует, что центральный момент нулевого порядка (k = 0) равен единице, т.е. р() =1.

Центральный момент первого порядка (k = 1) равен нулю: р, = 0.

1 " _ Iй 1 _

В самом деле, р. = —У.(х. -х) = -Ух —пх = 0.

п ,=1 ти=1__^ п

х

Центральный момент второго порядка k = 2 есть дисперсия:

Легко показать, что начальные и центральные моменты связаны соотношениями

Коэффициенты асимметрии характеризует степень скошенности распределения данных:

1 П

где |_ц =— Х(х ~х)Л ~ центральный момент третьего порядка. Из (4.18) п ,=1

и рис. 4.15 следует, что при: Лс>0 имеет место правосторонняя; при Ас< 0 — левосторонняя асимметрия; при Л. = 0 — симметричное распределение (рис. 4.15).

Гистограммы симметричного распределения (а) и распределений с правосторонней (б) и левосторонней (в) асимметрией

Рис. 4.15. Гистограммы симметричного распределения (а) и распределений с правосторонней (б) и левосторонней (в) асимметрией

Формулы для расчета показателей вариации моментов распределения приведены в табл. 4.13.

Пример 4.14

На изготовление каждого из четырех электродвигателей затрачено соответственно 51, 49, 52 и 48 минут. Найдите:

  • а) среднее арифметическое, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;
  • б) центральные моменты третьего и четвертого порядков;
  • в) коэффициенты асимметрии, эксцесса и вариации.

Для расчета числовых характеристик признака, данные по которому не сгруппированы, проведем дополнительные расчеты и сведем их в таблицу.

Формулы для расчета показателей вариациям моментов распределения

Числовая

характеристика

По несгруппироваиным данным

п число наблюдений

По сгруппированным данным — вариационному ряду (дискретному или непрерывному)

Xj — значение признака (для дискретного ряда) или середина

интервала (для непрерывного); mi — частота значения х;,

1

n = Yjт, число наблюдений

i=i

формула

функция Excel

Дисперсия

ДИСПР(.г,)

Среднее квадратичное отклонение

-

Начальные моменты /г-го порядка

-

Центральные моменты к-то порядка

-

Коэффициент асимметрии

СКОС(.г,)

Коэффициент эксцесса

ЭКСЦЕСС(д-)

СО

СО

Решение

Номер наблюдения i

1

2

3

4

Сумма значений в строке

Среднее значение в строке

Значение наблюдения ж,

51

49

52

48

Отклонение от среднего X; ~ X

1

-1

2

-2

Квадрат отклонения от среднего 1 - ж)2

1

1

4

4

Куб отклонения от среднего (ж, - ж)3

1

-1

8

-8

Четвертая степень отклонения от среднего (ж, - ж)4

1

1

16

16

  • 1 П
  • а) среднее арифметическое х = —Уж, = 50.

п ы

Дисперсия S2 = — У (ж. - ж)2 = 2,5, среднее квадратическое отклонение 5 = л/2,5 = п ;=1

= 1,581;

б) центральные моменты третьего и четвертого порядков

в) воспользуемся результатами расчетов и. а) и б) для получения:

коэффициента асимметрии: А, = уу = —= 0 (распределение симметрично);

б (л/2,5)'

|Л 8 5

коэффициента эксцесса: Ek=-j- 3 = -^-у - 3 = -1,64;

S 12 5

коэффициента вариации: V5 = — = v ’ = 0,0316.

.г 50

Нормированные данные

В ряде задач удобно перейти от исходных наблюдений „г,, где i = 1, 2,..., п, к нормированным х*, безразмерным величинам, удовлетворяющим условиям х* = 0 и Si, =1.

Пусть имеются данные хи х2, xt, х„, на основании которых получены:

Тогда нормированными называют данные вида:

Покажем, что средняя арифметическая нормированных данных равна нулю:

а дисперсия — единице:

При этом, если нормированная величина больше нуля (х* > 0), то наблюдаемое значение больше среднего (х. > х). Если же х* < 0, то х. < х.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>