Полная версия

Главная arrow Техника arrow АВТОМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ БУРЕНИЯ НЕФТЕГАЗОВЫХ СКВАЖИН

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования

Составление и линеаризация дифференциального уравнения

Уравнения статики систем описываются алгебраическими уравнениями. Болес общим случаем являются переходные режимы САР. В целом все САР описываются дифференциальными или интегральными уравнениями, которые называются уравнениями динамики. Из уравнений динамики могут быть получены уравнения статики при равенстве производных переменных величин нулю. Поскольку интегральное уравнение можно перевести в дифференциальное, то принято в качестве уравнений динамики брать только дифференциальные уравнения.

В общем случае дифференциальные уравнения, описывающие поведение элемента или системы регулирования, нелинейные. Но при малых отклонениях координат системы от положения равновесия нелинейные уравнения можно приближенно заменить линейными уравнениями. Процесс замены нелинейного уравнения линейным называется линеаризацией дифференциального уравнения. Чем меньше отклонения координат системы от состояния равновесия, тем точнее линеаризованные уравнения описывают процесс.

Дифференциальные уравнения САР в целом составляются из дифференциальных уравнений отдельных звеньев, а дифференциальные уравнения звеньев - на основе законов, которые описывают процессы в этих звеньях, например законы Кирхгофа в электрических цепях, закон Ньютона в механических системах и т. д.

После составления уравнения производится его линеаризация. В основу этого берется разложение непрерывной функции в ряд Тейлора, при этом (после разложения) малостями второго порядка и выше пренебрегают.

Пусть дифференциальное уравнение звена имеет вид:

Выражения в квадратных скобках есть частная производная в нулевой точке (в которой производится линеаризация), это постоянная величина, т. е. уравнение (1.16) - линейное.

Кроме разложения в ряд Тейлора, есть и другие способы линеаризации, одним из которых является метод касательных для статических характеристик. При линеаризации по данному методу в точке линеаризации проводится касательная - прямая и ее уравнение приближенно принимается за уравнение звена. К примеру, на рис. 1.9 показана нелинейная статическая характеристика.

Схема линеаризации нелинейной характеристики статического звена методом касательных

Рис. 1.9. Схема линеаризации нелинейной характеристики статического звена методом касательных

При линеаризации уравнение прямой представляется формулой или в отклонениях

Аналогичное уравнение могло быть получено и по методу разложения в ряд Тейлора.

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение в отклонениях обмотки возбуждения (рис. 1.10).

По закону Кирхгофа

Уравнение статики, т. е. падение напряжения только на активном сопротивлении:

Электрическая и структурная схема обмотки возбуждения

Рис. 1.10. Электрическая и структурная схема обмотки возбуждения:

U - входная величина; i - выходная величина; г и L- параметры (активное сопротивление и индуктивность)

Дадим приращения:

Подставим в уравнение (1.19):

Вычтем из уравнения (1.22) уравнение (1.20), получим дифференциальное уравнение обмотки возбуждения в отклонениях:

Вывод: исходное уравнение и конечное имеют одинаковый вид, следовательно, в исходное уравнение вместо переменных можно подставлять отклонения.

Пример 2. Провести линеаризацию дифференциального уравнения кривой намагничивания обмотки возбуждения (рис. 1.11).

В отличие от примера 1 в качестве входной величины примем ток /, а выходной - магнитный поток Ф:

Требуется линеаризовать уравнение (1.24) в точке

Уравнение (1.24) в приращениях и с разложением в ряд Тейлора:

Характеристика для магнитных материалов

Рис. 1.11. Характеристика для магнитных материалов

Пренебрегая малостями 2-го порядка, имеем:

Вычтя из уравнения (1.27) уравнение (1.25) получим линейное дифференциальное уравнение.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>