Энергетические соотношения в цепях при гармоническом воздействии

Энергетические показатели являются одними из важнейших характеристик как отдельных элементов, так и устройств в целом. К ним относят характер изменения мгновенной мощности; активную, реактивную и полную мощности; коэффициент передачи мощности; коэффициент полезного действия и др. Определим эти показатели для произвольного линейного двухполюсника, напряжение и ток на зажимах которого изменяются по гармоническому закону:

Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности.

Используя (3.3.1), получим следующее выражение для мгновенной мощности двухполюсника:

Как очевидно из (3.3.2), в общем случае мгновенная мощность содержит постоянную составляющую и составляющую с удвоенной частотой гармонических колебаний. Постоянная составляющая мгновенной мощности называется активной мощностью, представляющей собой среднее значение мгновенной мощности за период гармонического колебания, т.е.

Характер изменения мгновенной и активной мощностей определяется значениями фазовых углов ц)_и и ф₇.

Базовые двухполюсники. Для резистивного двухполюсника <рц = (р₇, т.е. напряжение и ток совпадают по фазе, поэтому мгновенная мощность р > 0 в любой момент времени. Эта мощность рассеивается на двухполюснике. На рис. 3.3.1, а показан закон изменения мгновенной мощности для случая (р_и = ф₇ = л/2. Значение активной мощности определяется высотой 0,5U_mI_m прямоугольника с основанием Г, площадь которого равна заштрихованной площади под графиком функции p{t). Мощность резистивного двухполюсника можно выразить через его проводимость или сопротивление:

В источниках энергии напряжение (ЭДС) и ток (3.3.1) имеют противоположные направления, поэтому всегда Р_л < 0, т.е. осуществляется отбор активной мощности от источника.

Для емкостного двухполюсника (р₆г - ф₇ = -л/2, для индуктивного — - ср₇ = л/2, поэтому в (3.3.2) отсутствует

постоянная составляющая, т.е. Р_А = 0 (3.3.3). Следовательно, реактивные двухполюсники не потребляют активной мощности. Закон изменения мгновенной мощности показан на рис. 3.3.1, 6. Чтобы представить оба типа двухполюсников на одном рисунке, выбраны соответствующие значения начальных фаз напряжения и тока. В теории цепей для емкостных и индуктивных двухполюсников введено понятие реактивной мощности, которая но аналогии с резистивными двухполюсниками выражается через реактивные проводимости и сопротивления:

Рис. 33.1. Мгновенная мощность активных (а) и реактивных (б) двухполюсников

Активно-реактивные двухполюсники. Для резистивно-емкостных и резистивно-индуктивных двухполюсников, составленных из базисных элементов (G, R, С, L), введено понятие полной комплексной мощности

где ф = ф₆г - ф₇; P_s = 0,5 f// — полная мощность; U — амплитуда напряжения на активно-реактивном двухполюснике, I — амплитуда тока, протекающего через него.

Из (3.3.6) следует, что:

• • при ф = 0 активно-реактивный двухполюсник вырождается в резистивный двухполюсник, для которого активная мощность достигает максимального значения, равного полной мощности (3.3.4);
• • значения ф = ±к/2 соответствуют базисным реактивным двухполюсникам, мощность которых определяется соотношениями (3.3.5). Реактивная мощность Р_а характеризует процессы обмена энергией между двухполюсником и источником и определяется максимальной скоростью, с которой энергия запасается в двухполюснике. При Pq^<0 энергия запасается в емкостных двухполюсниках, при P_Q>0 — в индуктивных.

Полная мощность (3.3.6) является модулем комплексного числа Р_л + поэтому может быть представлена в виде следующего соотношения:

Полную комплексную мощность можно также выразить через комплексные амплитуды напряжения и тока:

где Г — комплексно-сопряженная амплитуда тока.

Следует иметь в виду, что мощность имеет размерность [Дж/с]. Однако, чтобы подчеркнуть различный физический смысл, мгновенную и активную мощности выражают в ваттах [Вт], полную и комплексную мощности — в вольт- амперах |ВА], а реактивную мощность — в вольт-амперах реактивных [вар].

Баланс мощностей. Из закона сохранения энергии следует, что для произвольной электрической цепи, составленной из базисных элементов, сумма мгновенных мощностей в каждый момент времени равна нулю:

где iV, N_E, Nj — число пассивных элементов, идеальных источников напряжения (ЭДС) и идеальных источников тока соответственно.

В (3.3.7) можно выделить в отдельные группы мгновенные мощности пассивных элементов и источников энергии, что позволяет сформулировать следующее условие баланса мощностей: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками, равна сумме мгновенных мощностей всех пассивных элементов цепи.

Для комплексных мощностей всех элементов также выполняется условие баланса, из которого следует, что:

• активная мощность, отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех резистивных элементов:

• реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех реактивных элементов:

где R_n или G_n, Х_п или В — вещественная и мнимая составляющие комплексного сопротивления п-го элемента.

Уместно отметить следующее. Несмотря на то, что идеальные реактивные элементы не потребляют активной мощности, при их подключении к источнику гармонических колебаний последний должен обладать определенной мощностью. Такое требование обусловлено гем, что между источником и реактивным элементом осуществляется обмен энергией. Например, при подключении (катушки) индуктивности к источнику ЭДС последний в первую половину периода отдает ток, при протекании которого в индуктивности накапливается энергия, а во вторую половину принимает ток обратно. Таким образом, источник ЭДС, не потребляя активной мощности, должен обеспечить индуктивность реактивной мощностью.

Оптимальные энергетические режимы. В различных электротехнических устройствах и энергетических установках на первое место выставляется требование получения максимальной активной мощности Р_л в нагрузке и КПД при заданных параметрах источника энергии (значениях тока и напряжения). Как очевидно из (3.3.3), повышение Р_л может быть достигнуто увеличением cos

t/ - ср₇), т.е. путем уменьшения угла сдвига фаз между током и напряжением. Величина coscp = Р_л/Р$ называется коэффициентом мощности. Наиболее часто в реальных условиях выходное сопротивление источника энергии носит резистивно-индуктивный характер. Па рис. 3.3.2, а приведена цепь, в которой источник ЭДС с резистивно-индуктивным характером внутреннего сопротивления нагружен на активное сопротивление R_u. Амплитуда тока, протекающего через нагрузку при условии, что начальная фаза ЭДС источника равна нулю, определяется следующим соотношением:

Для увеличения cos(p и /_н следует последовательно с нагрузкой включить компенсационный конденсатор С_к (рис. 3.3.2, б). Если значение его емкости выбрать исходя из условия равенства нулю суммарного реактивного сопротивления, T.e.jX = ja>_n -у/(соС_к) = 0, то получим схему замещения (рис. 3.3.2, в)_у в которой присутствуют только два активных сопротивления. Для этой схемы coscp = 1 и амплитуда протекающего через нагрузку тока /_н=E/(R_U + R_u) имеют

Puc. 33.2. Принцип повышения коэффициента мощности (coscp) путем введения компенсационного реактивного сопротивления

большее значение, чем в исходной схеме на рис. 3.3.2, а, поэтому при той же амплитуде Е большее значение будет иметь и активная мощность.

Дальнейшее увеличение активной мощности осуществляется путем согласования источника энергии с нагрузкой, которое для схемы на рис. 3.3.2, в состоит в выборе оптимального соотношения сопротивлений /?„//?„. Для определения оптимального сопротивления R_H представим мощность в нагрузке в виде функции

и составим уравнение dP_A/dR_u = 0, решив которое найдем R_Hom = R_]V Подставив R_u в выражение для Р_Л, получим Р_Лтах = 0,125?2Д_и.

Если внутреннее сопротивление источника и нагрузки являются комплексными величинами Z,, и Z_H соответственно, то условием согласования является равенство Z_II0nT=Z,*, где Z* — комплексно-сопряженное сопротивление. Таким образом, в общем случае для согласования источника энергии с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, передаваемой в нагрузку, сопротивление нагрузки должно быть величиной, комплексно-сопряженной с внутренним сопротивлением источника.

Другим критерием энергетической эффективности цепи (устройства) является коэффициент полезного действия (КПД) цепи, представляющий собой отношение активной мощности, потребляемой нагрузкой Р_Ли> к суммарной активной мощности Р_Л1, потребляемой всей цепью. Для схемы на рис. 3.3.2, в выражение для КПД имеет вид

из которого очевидно, что при R_H=R_W т.е. в режиме согласования г| = 0,5, однако по мере увеличения R_H КПД возрастает и при R_u —> оо значение rj —> 1.

Таким образом, условия получения максимальной мощности в нагрузке и максимального КПД являются несовместимыми, т.е. оба режима не могут быть реализованы одновременно. Поэтому в мощных энергетических установках реализуется режим с максимальным КПД, а в маломощных радиоэлектронных устройствах широко используется режим с максимальной мощностью в нагрузке.