Решение задач методом диаграмм Эйлера — Венна

Диаграммы Эйлера — Венна используются при решении большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три типа.

В задачах первого типа необходимо символически выразить множества, заштрихованные на диаграммах Эйлера — Венна, используя знаки операций пересечения, объединения и дополнения.

Например, выразим символически все области, которые получаются при взаимном пересечении объемов трех понятий А, В и С.

Этих областей внутри универсального множества восемь. Обозначим каждую цифрами 1—8 (рис. 9).

Рис. 9

Теперь выразим каждое из обозначенных множеств символически:

В задачах второго типа диаграммы Эйлера — Венна применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Рассмотрим одну из таких задач.

Если U — множество всех покупателей, А — покупатели хлеба, В — покупатели мяса, то каково значение (АиВ)п(АиВ)?

Изобразим ситуацию графически (рис. 10). Чтобы легче получать необходимый результат, целесообразно объединения классов изображать однонаправленной штриховкой, а для отыскания пересечений использовать разнонаправленную штриховку.

Рис. 10

Очевидно, что речь идет о покупающих либо хлеб, либо мясо.

Третий тип задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера — Венна, — задачи на логический счет. Вот одна из них. Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о количестве изучающих различные иностранные языки: английский — 28 человек, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка — 3. Сколько студентов не изучают ни одного языка?

При решении подобных задач следует соблюдать ряд правил.

• 1. На диаграммах Эйлера — Венна изображаются все классы, включая универсальный. Каждому классу присваивается соответствующее буквенное обозначение.
• 2. Искомая часть заштриховывается.
• 3. На диаграмму наносятся численные значения соответствующих областей.

Решение. Пусть А — студенты, изучающие английский язык, Н — немецкий, Ф — французский. Тогда остальные классы являются пересечением названных. Изобразим ситуацию графически (рис. 11).

Рис. 1 1

Пересечение трех множеств АпНпФ состоит, по условию, из трех элементов. Отметим это на схеме. Пересечение АпН состоит из восьми элементов, три из которых уже указаны; значит, изучающих английский и немецкий языки (без французского) — пять. Аналогично находим, что пересечение АпФ состоит из десяти элементов, то есть английский и французский языки (без немецкого) изучают семь студентов; пересечение НпФ состоит из пяти элементов, то есть немецкий и французский (без английского) изучают два человека.

Определив численные значения пересечений, не трудно заметить из диаграммы, что изучающих исключительно английский: 28 - (5 + 7 + 3) = 13; немецкий: 30 - (5 + 2 + 3) = 20; французский: 42 - (7 + 2 + 3) = 30. Теперь, сложив все числа внутри окружностей, мы узнаем, сколько всего студентов изучает иностранные языки: 13 + + 30 + 20 + 5 + 7 + 2 + 3 = 80. Значит, ни одного языка не изучает 100 - 80 = 20 студентов.