Теория ZF- аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
Теория ZF была разработана в начале XX века и опубликована в 1908 году (см. [1], [15], [83], [86]). Излагаемая ниже система аксиом этой теории достаточно полна, чтобы получить из нее все обычные утверждения теории множеств, и в то же время позволяет избежать известных парадоксов.
- 1. Аксиома объемности: два множества А и В равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.[1]
- 2. Аксиома пары: если А и В - множества, то существует множество С, единственными элементами которого являются А и В: С = {А, В}.
- 3. Аксиома пустого множества: существует множество 0 - пустое множество, не содержащее элементов.
- 4. Аксиома объединения: если М есть множество некоторых множеств Мп т. е. М = {М,,Л/2, ...}, то объединение UМ,- этих множеств М,•
/
есть множество.
- 5 .Аксиома степени: если М- множество, то совокупность Р(М) всех подмножеств множества М есть множество. Множество Р(М) называется степенью множества М.
- 6. Аксиома регулярности: если М- множество, то либо М = 0, либо в М найдется такой элемент b, что b П М = 0.
- 7. Аксиома содержательности: если М -множество и ф(х) - высказывательная форма языка теории, то совокупность D всех таких а е М, что ср(а) - истинное высказывание, есть множество, так что D = {a: (р(а)~ И, аеМ}. Множество D называется частью множества М, определяемой высказывательной формой (р(х).
- 8. Аксиома бесконечности: существует по крайней мере одно бесконечное множество, например: N= {0,1, 2,3,...}.
- 9. Аксиома выбора: для каждого множества А непустых множеств
А{, /е/, A = {jAj, существует инъективная функция f:I^>A, сопостав-
/
ляющая каждому i е / элемент ai = /(/) е Аг
Последняя аксиома не всегда включается в список аксиом теории множеств, хотя в теории множеств есть много эквивалентных ей утверждений (см. [36.0.24, 25]), а в анализе она часто присутствует в доказательствах неявно (см. [29]). Мы это иллюстрировать нс будем, но докажем три теоремы.
Теорема 3.3. Существует одноэлементное множество {А}.
• В аксиоме пары положим В = А , тогда
Теорема 3.4. Пусть А - множество, тогда А € А.
• Если /4 = 0, тогда по Аксиоме 3 А ? А. Пусть А*0, тогда к множеству {А}- одноэлементному множеству, которое существует по Теореме 3.3, применим Аксиому регулярности 6, по которой ЗЬ е {А} такой, что b П {А} = 0. Поскольку {А} есть одноэлементное множество и is {А}, то b - А по Акс. 1. Теперь из А П {А} - 0 следует, что А
Теорема 3.5. Если А и В суть множества и если А е В, то В € А.
- • Для доказательства вновь обратимся к Аксиоме регулярности, применив ее к множеству {А,В), по этой аксиоме 3b е {А,В} ф 0 такой, что 6П {А, В) = 0.
- 1. Пусть b = В, тогда В П {А, В) = А (ибо по условию теоремы А е В и по Теореме 3.4 В&В). Далее пусть 1а): А = 0. Тогда по Аксиоме 3 В Условие 16) А*0 противоречит Аксиоме 6. Значит,
- 2. b = А, тогда по Аксиоме 6 А П {А, В} = 0 , т. е. В g А. ?
Мы убедились в том, что аксиома регулярности избавляет теорию ZF от парадокса Б. Рассела.
- [1] Из аксиомы объемности вытекают такие два свойства множества: 1) если имеется множествоМ= {а, Ь} и некоторое выражение с переменной F(x), то после подстановки вместо х элемента а из Мсамо множество М нс изменится, 2) {а, а, b}={a,b).
