Аксиоматическое введение множества R

Определение 5.1. Множеством действительных чисел называется непрерывное, линейно упорядоченное поле R. Это означает, что, во- первых, на множестве R заданы следующие отношения и операции:

I. Отношение равенства (см. Глава 3, п.п. 3 и 4).

II. Бинарная операция +: R х R —>й и а + Ь = с есть алгебраическая запись операции +.

III. Бинарная операция ®: R х R —»й и а-Ь = с есть алгебраическая запись операции ®.

IV. Отношение порядка р с й х й я а <Ь есть алгебраическая запись того, что (а, б) ер (см. Глава 3, п.п. 4 и 5).

Во-вторых, при этом выполнены следующие аксиомы:

  • 1.1. а -а. 1.2. а = b => b — а .
  • 1.3. я = б&б = с => я = с. 1.3'. а = b => (ср(я) => ф(б)).
  • 11.1. а + b = b + а. II.2. а + (Ь + с) = (а + Ь) + с.
  • 11.3. 30 ей: Уя ей я + 0 = я.
  • 11.4. У я ей 3р ей: а + р = 0.

III. 1. я • б = б • я. III.2. а • (b ? с) = (а ? b) ? с.

Ш.З. 31 ей: Убей ЪЛ=Ь .

111.4. Уя е й{0} 3q е й: a q = .

IV. 1. а < b&b < с => я < с. IV.2. (0, 0)g с, т.е. 0<0 ложно.

IV.3. 0<1. V.I. (я + б)-с = а • с + b ? с.

VI.1.У сей я < б=>я + с <б + с.

VI. 2. (я > 0) &(б > 0) => я • б > 0.

VII. Всякое разбиение множества й на верхний В и нижний А классы:

Лий=й, А*0 * В и У(я,б)еЛхй я < б, есть дедекиндово сечение, т. е. либо 3 с е А:Уу е А{с}: у<с и Уре. В 3beB:b либо

3d е В :Ух е В {d} d е А: у<а.

Замечание 5.5. В Аксиомах 1.2 и 1.3 равенства я = б, Ь = с, а = с означают, что один и тот же элемент обозначен разными символами или даже получен разными способами, например, |я| = -%/я • я (см. также [53, с. 12]). В Аксиоме 1.3' ср(б) - некоторое выражение, не содержащее я (см. с. 12 и далее). Аксиома 1.3' обеспечивает замену равного равным. Из этой аксиомы следуют, в частности, Аксиомы 1.3 и 1.2 (см. также [53, с. 12]).

Замечание 5.6. Аксиомы 1.1-1.3' и доказываемую ниже Теорему 5.4 традиционно и по умолчанию опускают (см. [53, с. 12], ер. [30, с. 40, 41]).

Замечание 5.7. В Аксиоме IV.3 условием 0 < 1 выбрана за положительную одна из двух возможных ориентаций в R. 0 < 1 или 1 < 0.

Замечание 5.8. Использование нестрогого неравенства q < х оправдано лишь в тех выражениях, где, по крайней мере, одна из букв q их сеть символ переменной (см. Глава 1, Соглашение С), иначе, например, вместо 2 < 3 мы пишем 2 < 3.

Весь изучаемый в высшей математике анализ - математический анализ функций - является теорией, выводимой из Аксиом I -VII. Отметим здесь лишь некоторые факты, при этом равенство = и импликацию =>, справедливые в силу условия S, мы будем обозначать символами =(S)= и , соответственно.

Теорема 5.0. V(x,jy)e Rx R либо х < у, либо X - у, либо X > у.

• Пусть, например, 3(a,b)e R х R: a>&b>a. Тогда по Аксиоме IV. 1 а > а и по Аксиоме VI. 1 получим 0 > 0, это противоречит Аксиоме VI.2. Если же допустить существование в R {a, b}: а > b и а = Ь, то по Аксиоме 1.3' получим а > а и далее 0 > 0 .?

Теорема5.1. Если 3{0,0}c/f: V{fl,i}cl? а + 0 = а и b + 0=b, то 0 = 0.

• Из условия теоремы при а = 0 и b = 0 получим 0 + 0 = 0 и 0 + 0 = 0. Из этих равенств и Аксиом II. 1 и 1.3 следует, что 0 = 0. ?

Аналогично доказывается единственность в R единицы, то есть

Теорема 5.2. al = a& b =b=>l=l.

Определение 5.2. Множеством натуральных чисел назовем множество N с R, определяемое индуктивно двумя условиями (ср. п. 3.6):

  • 1) eN.
  • 2) Если п еА, то п + 1 е /V.

Теорема 5.3.Если а + р-0 и a + q-О, то p = q.

• Допустим противное, т. с. что —*(p = q). Если, например, р> q, тогда из а + р> а + q следует 0 > 0. Это противоречит Аксиоме IV.3.B

Единственное число p-q--a называют числом, противоположным числу а.

Определение 5.3. Число а назовем положительным и число (-а) назовем отрицательным, если а > 0.

Определение 5.4. Разностью чисел а и b назовем число с = а + (- b)=a - Ь.

Теорема 5.4. Если а = Ь, то Ус ей а + с-b + с.

• Допустим -л(а + с = b + с), например, а + с > b + с. Из этого неравенства, по Аксиоме VI. 1, получим а > Ь, что вместе с условием Теоремы противоречит заключению Теоремы 5.0.И

Следствие 5.1.я = 6<=>а-6 = 0<=>-а = -Ь.

Теорема 5.5. Если а - b и p-q, то a + p- b + q.

• (а-Ъ, р = )=>(a + p = b + p,b + p- b + q) = (1.3) => (а + р = b + q) .?

Теорема 5.6. -(-а) = а.

• ((-а) + (- (-а)) = (II. 4.) = 0) = (Тсор. 5.4) => а + (-а) + (- (-а)) =

= 0+ <*=(11.4, Н.3,1.3') => 0 - (-а) = а =>-(-а) = а.?

Теорема 5.7. - (а + b) = -а - b.

• ["/?=- (я + 6)J = (Следствие 5.1) => (-р = -(-(а + Ь))).

= (Теор. 5.6) =>(-/? = а+Ь)= (Теор. 5.4) => - а - b = р. Теперь имеем ((р = -(а + Ь)) &{р = -а - Ь)) => (-(а + Ь) = -а - Ь) .?

Аналогично доказываются следующие три утверждения:

Теорема 5.8. (-1 )-а--а.

Следствие 5.2. (— 1) - (— 1) = 1.

Следствие 5.3. (-*) • у - ~(ху).

Теорема 5.9. (а = Ь)=> (ас = Ьс) =(с * 0)=> (а = Ь).

  • • (а = b)=> (а - b = 0), (ас - Ьс = с(а - Ь) = с ? 0 = 0) =>(ас = Ьс),
  • (ас = Ьс) -(с Ф 0)=>(а-с-с' = Ь-с-с')=> (а ? 1 = b ? 1) => (а = b) М

Следствие 5.4. Если а ? b = 0, то либо а = 0, либо 6 = 0, либо а = b = 0.

Теорема 5.10. Если а ? w = 1 и a-v = 1, то w = v.

• {aw = av) => (a{w - v) = 0). Так как а Ф 0, ибо равенство a = 0 в силу l = a-w = 0 противоречит Аксиоме IV.3, то в силу Следствия 5.4 (w - v = 0) = (Следствие 5.1) => w - v .?

Единственное в Теореме 5.10 число w-v=aA называют обратным числом для числа а.

Определение 5.5. Частным чисел а и b называют число

Теорема 5.11. Если а > 0, то - а < 0.

• (а > о)=> (-а + а > 0 - а)^> 0 > -а.Ш (Ср. [30, с. 38]).

Теорема 5.12. a>-i>0.

• (а > b) = (VI. 1) => (a + {-b)>b + {-b))=>{a-b>0).U

Следствие 5.5. Если а > Ь и с > 0, то aobc.

  • • (а >Ь)= (Теор. 5.12) => (а - b > 0). Поэтому имеем далее (а-Ь>0, о0) = (VI.2) => ((a -b)-c > 0) = (V.1) => (ас — Ьс > 0) =
  • (Теорема 5.9) => {ас > Ьс)М

Теорема 5.13. Если а > Ъ и с > d, то а + с > b + d и a —d> b —с.

• (а > Ь, с > d) = (VI. 1) => (а + с > b + с, b + с > b + d)

= (IV. 1) => (а + ob + d). Неравенство a-d>b-c доказывается аналогично, так как по Теореме 5.12 из с > d следует -d > -с М

Упражнения

Доказать следующие свойства действительных чисел:

  • 5.14. Если а > b + с, то а - с > b .
  • 5.15. Если а Ф 0, то (я ) = а .
  • 5.16. (- а- b) = a ? b.
  • 5.17. Если а * 0, то (-д)-1 =-(йгч).
  • 5.18. Если а > 0, то а~' > 0.
  • 5.19. Если а > 1, то 0 < я"1 < 1.
  • 5.20. Если а > b и с < 0, то ас < Ьс.
  • 5.21. При а > b и с > d ас> bd в следующих трех случаях:
  • 1) если а > 0 и d > 0,
  • 2) если с > 0 и b > 0,
  • 3) если b > 0 и d >0.

Утверждение 5.22. /я > 0 З{с,1)}сй: 0

Д

  • • Пусть с = а + 1, тогда в силу Аксиом IV.3,1.3 и 1.3 имеем:
  • (с = а + 1, 1 > 0)=2> (с + 1 > а + l)=> (с > а).

Далее из а>0 и из а-а~х= 1 получим: а + а ? a~l > 1 + 0 => => а{ + а”1) > 1. Если 6 = 1 + а~', то из (1 > 0, а > 0) => b > 0 => Ь~] >0, тогда a b-b~' > 1 • 6”1 > 0 => а > b~' М

Утверждение 5.22 говорит о том, что среди положительных чисел нет ни наибольшего, ни наименьшего. Для второй части этого утверждения обобщением является следующая ниже Теорема 5.23.

Теорема 5.23. Упорядоченное поле F всюду плотно, т. е.

• Пусть 2 = 1 +1 > 0. Поскольку из

a + b а + b ^~ д а + b ш

го а < —^— и —2— < ®' ТепеРь’ например, с=- 2 -• ?

Предложения 5.1-5.23 справедливы для любого упорядоченного поля. Но в теории упорядоченного поля F, если F *Q, недоказуемы следующие предложения.

Утверждение 5.24'. Аксиома Архимеда.

Для любых чисел а и Ь, принадлежащих F, 0 <Ь < а, найдется натуральное число п такое, что а < b + b + --- + b = b? п .

п слагаемых

Утверждение 5.24". Для каждого положительного а е F найдется

1

такое натуральное число п, что —<п.

а

Утверждение 5.24"'. Для всякого as F, а> 0, найдется натуральное

число п такое, что < а <2 .

2"

Задание 5.1. Приняв одно из Утверждений 5.24 за аксиому поля F, доказать два других.

Упорядоченное поле F, в котором справедливо утверждение 5.24, называется архимедовым полем.

В [30] показано на с. 34-36, что Аксиома VII непрерывности множества R действительных чисел эквивалентна следующим ниже предложениям о полноте множества R.

Предложение VIIПринцип полноты Вейерштрасса. Любое ограниченное сверху непустое множество из R имеет в R точную верхнюю грань.

Предложение VII". Теорема отделимости. Если А Ф 0 Ф В, AJ В = R

и для У(а,Ь)е Ах В а<Ь, то в R существует такое с, что для всех (х,у)е Ах В х <с < у.

Предложение VII”. Принцип полноты Кантора множества R.

A. Пусть в R дана система {[a„,bn]}, neN, вложенных отрезков

К+|» б„+, ] с [й„,bn]czR. Тогда Щ>,, Ь,] & 0, т. е. существует число с & R

/

такое, что Vп eN с е [а„ ,Ьп].

B. Архимедово поле F, в котором пересечение системы вложенных отрезков не пусто, есть множество R действительных чисел (ер. [41, с. 76, Теорема 3 и далее]).

Задание 5.2. Доказать справедливость Утверждений 5.24'-5.24"' в поле Q рациональных чисел, т. е. что поле Q архимедово.

Вопросы Читателю

  • 1. Как можно определить бесконечномерное линейное пространство К*,?
  • 2. Как изменится система аксиом множества R. если в качестве одной из них принять Теорему 5.0?
  • 3. Можно ли было бы принять числа меньшие нуля за положительные числа? Если «да», то чему бы это противоречило?
  • 4. Справедлива ли Теорема отделимости (Предложение VII") во множестве N натуральных чисел? Что из этого следует?
  • 5. Каким числом можно заменить в Утверждении 5.24"' степень 2”?
  • 6. Из и. 2 Главы 7, как Вы увидите, следует существование бесконечно больших натуральных чисел. Противоречит ли это Аксиомам Псано (см. п. 3.7.5, с. 58) множества натуральных чисел?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >