ПАРАДОКС Г. ГАЛИЛЕЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ ИНЪЕКТИВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Свойства бесконечности: а + оо = оо, ах оо = 00,00 + 00 = 00,00x00 = 00, со” = оо и др. упрощают решения многих задач анализа. Однако такой подход, когда ^(1)" =°° = Х,г ' > лишает понятие бесконечности всякой определенности и структуры, не допуская его изучения и увеличивая риск появления ошибок в доказательствах утверждений о бесконечном. С другой стороны, Г. Галилей, открыв, что количества натуральных чисел и их квадратов равны, завещал быть осторожными в сравнении бесконечных количеств: «...свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где речь идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам» (см. [11, с. 140-146]). Условия сюръективности инъективных отображений бесконечных множеств мало исследованы до сих пор. Для конечных множеств А и В проверка условия сюръективности у(Л) = В отображения |/: А —> В не вызывает затруднений. Для отображений бесконечных множеств аналогичная процедура не является такой тривиальной. В этой главе для множества N = {1,2,.натуральных
чисел исследованы условия сюръективности инъективных отображений ср: N —» N , найдены характеристические признаки 6-ти непересекающихся классов таких отображений, доказано (Теорема 6.2.5), что не существует биекции между множеством N и его собственным подмножеством А с N, даны другие приложения и приведены примеры.
Об отображениях конечных множеств
Вначале для сравнительного анализа рассуждений о конечном и бесконечном мы приведем несколько очевидных утверждений об отображениях конечных множеств.
Утверждение 6.1 Л. Конечные множества А и В биективны, т. е. существует инъекция |/: А —» В и v|/(А) = В (см. п. 3.7.6), тогда и только тогда, когда равны количества элементов этих множеств.
Утверждение 6.1.2. Не существует биекции между конечным множеством А и его собственным подмножеством В а А. Другими словами, инъекция vp : А —> В неосуществима на всем множестве А з В.
Утверждение 6.1.3. Пусть А и В - собственные подмножества конечного множества С и пусть существует инъекция (р: А —> В, тогда это отображение (р может быть продолжено до биекции р : С —> С.
Количество N(An) биекций р : Ап —> Ап, заданных на «-элементном множестве А„ и называемых также перестановками множества А,„ определяется формулой N(An) = п, и следовательно,
Поэтому справедливо следующее предложение.
Утверждение 6.1.4. Конечные множества А и В биективны тогда и только тогда, когда равны количества их перестановок, т. е.
Ниже доказано, что содержание Утверждений 6.1.2-6.1.3 сохраняется для отображений бесконечных подмножеств А и В множества N. (Утверждение 6.1.3 в общем случае доказано автором в [103]).
Бесконечность множества N = (1,2,...,«, ...) натуральных чисел понимается в связи с принципом математической индукции как неограниченная возможность перехода от (л) к (п + 1), что формально записывается так: п —> оо. Более общая фраза «при предельном переходе в F(n)» означает (см. [26, с. 221]), по умолчанию, следующее:
Г.М. Фихтенгольц ввел понятие одинаково упорядоченных переменных, «так называются две переменные х и у, которые могут быть упорядочены с помощью одного и того же упорядоченного множества» (см. [81, с. 643-644]). Принцип предельного перехода (6.1.1) и равномерная направленность множества N натуральных чисел мотивируют введение понятия С-точной пары (т, п) натуральных переменных. В этом сформулированном ниже Определении 6.1.1 мы почти точно следуем одинаково упорядоченным переменным Г. М. Фихтенгольца и понятию переменной (см. п. 3.7.7).
Пусть А и В являются бесконечными подмножествами множества N: 0={(/иД)}сЛхЯ=(Л,Я), АпВ гэ0 hE^AkjBqN.
Определение 6.1.1. Пара (т, к) натуральных переменных теА и к&В называется С-точной парой, если найдется число С> 0 такое, что для каждых соседних в Е элементов т и к верно неравенство
Условие (6.1.2) С-точности пары (т, к) эквивалентно при условии ЗС е R, С > О, каждому из двух следующих ниже, что очевидно:
1) т ?А к € В: т = к + q(k), 2) к €5 т к: Л : к = т + р(т), (6.1.3)
где р(т) EZ, | = {(т, ?)}с Ах В, содержащее элементы те А и кеВ С-точной пары (т, к) натуральных переменных.
Ниже будет доказано (Теорема 6.2.4), что всякая пара (т, п) переменных т и п из N является при т, п —> со С-точной парой. Это утверждение является одной из составляющих частей альтернативной методологии в анализе.
