Вычисление доверительных границ для средней арифметической генеральной совокупности
Зная среднюю арифметическую (X) и ошибку (т^) выборочной совокупности, можно с определенной степенью достоверности и точности определить те границы, в которых лежит средняя генеральной совокупности (X). Эти границы называют доверительными.
Предположим, что для изучения среднего настрига шерсти у мериносовых овец было сделано 100 выборок (при п > 30) и для каждой из них вычислено Х±т^. Доказано, что средние величины отдельных выборок группируются вокруг средней для генеральной совокупности (X), подчиняясь закону, согласно которому выборочная X отклоняется от X генеральной совокупности:
- • в 95 % случаев — не более чем на 1,96т,
- • в 99 % случаев — не более чем на 2,58т,
- • в 99,9 % случаев — не более чем на 3,29т.
Приведенные выше показатели — 95, 99 и 99,9 % — называются доверительными вероятностями (Р). Их обозначают обычно не в процентах, а в долях единицы (Р = 0,95; Р = 0,99; Р = 0,999). Они указывают на вероятность безошибочного прогноза. Коэффициенты, стоящие при средней ошибке (1,96; 2,58 и 3,29), представляют собой нормированные отклонения (?), соответствующие приведенным доверительным вероятностям.
Используя эти показатели, можно по данным одной выборки определить доверительные границы, в пределах которых лежит средняя генеральной совокупности (X). Она находится между X-t-m (нижняя граница) и X + t-m (верхняя граница). Нормированное отклонение (0 зависит от доверительной вероятности, которую выбирают исходя из требований, предъявляемых к достоверности выводов (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Три порога надежности или вероятности безошибочных прогнозов для больших выборок
Порог |
Применение |
Вероятность безошибочных прогнозов (Р) |
Число оши бочных случаев |
Нормированное отклонение или критерий надежности (0 |
Мини маль ный объем выборки |
1 |
В производственных и научно-производственных исследованиях |
0,95 |
5 из 100 |
1,96 |
30 |
2 |
В большинстве биологических, зоотехнических и ветеринарных исследований |
0,99 |
1 из 100 |
2,58 |
100 |
Порог |
Применение |
Вероятность безошибочных прогнозов (Р) |
Число оши бочных случаев |
Нормированное отклонение или критерий надежности (0 |
Мини маль ный объем выборки |
3 |
В работах с очень высокими требованиями к достоверности выводов |
0,999 |
1 из 1000 |
3,29 |
200 |
Для малых выборок стандартные значения (показатель надежности) определяются по таблице Стьюдента (см. приложение 1).
Пример 1. Средний настриг шерсти в выборке мериносовых овец (Х±тпх) составил 4,0 ± 0,2 кг. Установить доверительные границы для среднего настрига шерсти в генеральной совокупности мериносов.
Возьмем в качестве доверительной вероятности Р — 0,95. Согласно данным табл. 7.1, при этой вероятности нормированное отклонение t = 1,96. Определяя доверительные границы для X генеральной совокупности мериносов, получим: нижняя граница составит Х-1,96т = 4,0-1,96 0,2 = 3,61 кг; верхняя граница — Х + 1,96 тп = = 4,0+ 1,96 0,2 = 4,39 кг. Это показывает, что генеральная средняя (т. е. средний настриг шерсти среди всего поголовья мериносов) находится в интервалах между 3,61 и 4,39 кг. Вероятность того, что данное утверждение правильно, составляет 95 %, а риск ошибки — 5 %.
Если считать, что 5 % риск ошибки слишком высок, то в качестве допустимого можно взять 1 % риск ошибки, а следовательно, 99 % вероятность достоверности утверждения. При Р равном 0,99, t = 2,58. Рассчитывая в таком случае доверительные границы для ^генеральной совокупности по формуле Х±2,58 т, получим: нижняя граница равна 4,0 - 0,52 = 3,48, верхняя — 4,0 + 0,52 = 4,52. В этом случае можно утверждать, что генеральная средняя находится в границах 3,48—4,52. Точность второго утверждения по сравнению с предыдущим уменьшилось, так как границы расширились, но уменьшился и риск ошибки с 5 %-го до 1 %-го уровня. В случаях, требующих особо высокой достоверности выводов, в качестве доверительной вероятности значения используют Р, равное 0,999. При этом риск ошибки снижается до одного случая из 1000, но доверительный интервал становится еще более широким.
Пример. Предположим, что поставлена задача — построить новый животноводческий комплекс, в котором будет внедрена вновь разработанная технология откорма до 15-месячного возраста около 5 тыс. голов бычков. Какова будет живая масса одного бычка (в среднем), выращенного в этих условиях?
Прежде чем начать строительство комплекса, необходимо произвести эксперимент на бычках из тех же хозяйств, которые будут поставлять их для откорма на комплексе в условиях новой технологии. Обработанные материалы этого эксперимента дали следующие выборочные показатели: п = 100 голов; X = 400 кг и а = 40 кг.
При планировании исследования был установлен обычный для научно-хозяйственных опытов (поисковых) критерий надежности 95 = 1,96 (первый порог вероятности безошибочных прогнозов). Имея эти данные, мы можем определить ошибку средней арифметической и установить доверительные группы для генеральной средней: о 40 40
171% =—[== ,-= — = 4кт. При установленном критерии надежности
vn V100 Ю
t = 1,96 доверительные границы для генеральной средней составят: Хген = Хвыб ± t • т* = 400 ± 1,96 ? 4 « 392 + 408 кг, т. е. к 15-месячному возрасту средняя живая масса бычков будет не меньше гарантированного минимума (392,2 кг), но и не больше вероятного максимума (407,8 кг), хотя отдельные животные достигнут к этому возрасту довольно разной живой массы: от X - 2а (400- 2 • 40 = 320) до X + 2о (400 + 2• 40 = 480 кг). Полученные данные позволяют сделать вывод, что при откорме 5 тыс. телят за указанный период их общая живая масса составит не менее: 392 кг • 5000 = 1960 т. Эта цифра может служить плановым показателем производства мяса (в живой массе). В то же время необходимо готовить материальную производственную базу для переработки не 1960 т, а вероятного максимума: 408 кг • 5000 = 2040 т.
Задание для самостоятельной работы
Установить доверительные границы по всем показателям, пользуясь данными заданий 1—15 главы 2 для средней арифметической генеральной совокупности с учетом трех степеней вероятности безошибочных прогнозов (Р).