Вычисление доверительных границ для средней арифметической генеральной совокупности

Зная среднюю арифметическую (X) и ошибку (т^) выборочной совокупности, можно с определенной степенью достоверности и точности определить те границы, в которых лежит средняя генеральной совокупности (X). Эти границы называют доверительными.

Предположим, что для изучения среднего настрига шерсти у мериносовых овец было сделано 100 выборок (при п > 30) и для каждой из них вычислено Х±т^. Доказано, что средние величины отдельных выборок группируются вокруг средней для генеральной совокупности (X), подчиняясь закону, согласно которому выборочная X отклоняется от X генеральной совокупности:

• • в 95 % случаев — не более чем на 1,96т,
• • в 99 % случаев — не более чем на 2,58т,
• • в 99,9 % случаев — не более чем на 3,29т.

Приведенные выше показатели — 95, 99 и 99,9 % — называются доверительными вероятностями (Р). Их обозначают обычно не в процентах, а в долях единицы (Р = 0,95; Р = 0,99; Р = 0,999). Они указывают на вероятность безошибочного прогноза. Коэффициенты, стоящие при средней ошибке (1,96; 2,58 и 3,29), представляют собой нормированные отклонения (?), соответствующие приведенным доверительным вероятностям.

Используя эти показатели, можно по данным одной выборки определить доверительные границы, в пределах которых лежит средняя генеральной совокупности (X). Она находится между X-t-m (нижняя граница) и X + t-m (верхняя граница). Нормированное отклонение (0 зависит от доверительной вероятности, которую выбирают исходя из требований, предъявляемых к достоверности выводов (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Три порога надежности или вероятности безошибочных прогнозов для больших выборок

Для малых выборок стандартные значения (показатель надежности) определяются по таблице Стьюдента (см. приложение 1).

Пример 1. Средний настриг шерсти в выборке мериносовых овец (Х±тпх) составил 4,0 ± 0,2 кг. Установить доверительные границы для среднего настрига шерсти в генеральной совокупности мериносов.

Возьмем в качестве доверительной вероятности Р — 0,95. Согласно данным табл. 7.1, при этой вероятности нормированное отклонение t = 1,96. Определяя доверительные границы для X генеральной совокупности мериносов, получим: нижняя граница составит Х-1,96т = 4,0-1,96 0,2 = 3,61 кг; верхняя граница — Х + 1,96 тп = = 4,0+ 1,96 0,2 = 4,39 кг. Это показывает, что генеральная средняя (т. е. средний настриг шерсти среди всего поголовья мериносов) находится в интервалах между 3,61 и 4,39 кг. Вероятность того, что данное утверждение правильно, составляет 95 %, а риск ошибки — 5 %.

Если считать, что 5 % риск ошибки слишком высок, то в качестве допустимого можно взять 1 % риск ошибки, а следовательно, 99 % вероятность достоверности утверждения. При Р равном 0,99, t = 2,58. Рассчитывая в таком случае доверительные границы для ^генеральной совокупности по формуле Х±2,58 т, получим: нижняя граница равна 4,0 - 0,52 = 3,48, верхняя — 4,0 + 0,52 = 4,52. В этом случае можно утверждать, что генеральная средняя находится в границах 3,48—4,52. Точность второго утверждения по сравнению с предыдущим уменьшилось, так как границы расширились, но уменьшился и риск ошибки с 5 %-го до 1 %-го уровня. В случаях, требующих особо высокой достоверности выводов, в качестве доверительной вероятности значения используют Р, равное 0,999. При этом риск ошибки снижается до одного случая из 1000, но доверительный интервал становится еще более широким.

Пример. Предположим, что поставлена задача — построить новый животноводческий комплекс, в котором будет внедрена вновь разработанная технология откорма до 15-месячного возраста около 5 тыс. голов бычков. Какова будет живая масса одного бычка (в среднем), выращенного в этих условиях?

Прежде чем начать строительство комплекса, необходимо произвести эксперимент на бычках из тех же хозяйств, которые будут поставлять их для откорма на комплексе в условиях новой технологии. Обработанные материалы этого эксперимента дали следующие выборочные показатели: п = 100 голов; X = 400 кг и а = 40 кг.

При планировании исследования был установлен обычный для научно-хозяйственных опытов (поисковых) критерий надежности 95 = 1,96 (первый порог вероятности безошибочных прогнозов). Имея эти данные, мы можем определить ошибку средней арифметической и установить доверительные группы для генеральной средней: о 40 40

171% =—[== ,-= — = 4кт. При установленном критерии надежности

vn V100 Ю

t = 1,96 доверительные границы для генеральной средней составят: Х_ген = Хвыб ± t • т* = 400 ± 1,96 ? 4 « 392 + 408 кг, т. е. к 15-месячному возрасту средняя живая масса бычков будет не меньше гарантированного минимума (392,2 кг), но и не больше вероятного максимума (407,8 кг), хотя отдельные животные достигнут к этому возрасту довольно разной живой массы: от X - 2а (400- 2 • 40 = 320) до X + 2о (400 + 2• 40 = 480 кг). Полученные данные позволяют сделать вывод, что при откорме 5 тыс. телят за указанный период их общая живая масса составит не менее: 392 кг • 5000 = 1960 т. Эта цифра может служить плановым показателем производства мяса (в живой массе). В то же время необходимо готовить материальную производственную базу для переработки не 1960 т, а вероятного максимума: 408 кг • 5000 = 2040 т.

Задание для самостоятельной работы

Установить доверительные границы по всем показателям, пользуясь данными заданий 1—15 главы 2 для средней арифметической генеральной совокупности с учетом трех степеней вероятности безошибочных прогнозов (Р).