Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

В идеальной жидкости, в отличие от реальной, отсутствуют силы внутреннего трения (отсутствует вязкость). Благодаря вязкости в реальной жидкости происходят потери механической энергии потока на трение внутри жидкости и о стенки канала. При этом происходит рассеивание (диссипация) энергии. Энергия, потерянная на трение, превращается в теплоту и идет на пополнение запаса внутренней энергии жидкости, а часть ее отводится в виде тепла через стенки канала.

Внутренняя энергия жидкости не может быть непосредственно использована для приведения жидкости в движение и поэтому в гидравлике рассматривается как потеря механической энергии (потеря напора).

Для реальной жидкости равенство нарушается, и вместо него имеем , где – потеря напора на участке 1–2. Тогда для элементарной струйки реальной жидкости уравнение Бернулли примет вид

Таким образом, полный напор вдоль струйки реальной жидкости уменьшается. Для характеристики относительного изменения полного напора на единицу длины вводится понятие о гидравлическом уклоне

Например, на участке трубопровода 1–2 (см. рис. 4.26)

где l1-2 – длина участка 1–2.

Таким образом, гидравлическим уклоном называется отношение потери напора к длине, на которой она происходит.

Кроме того, вводится еще понятие о пьезометрическом уклоне

Пьезометрический уклон может быть положительным, равным нулю и отрицательным.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Применение уравнения Бернулли, выведенного для отдельной струйки, для потока жидкости затрудняется неравномерностью распределения скоростей по живому сечению потока, наличием поперечных составляющих продольной скорости и влиянием центробежных сил. В связи с этим необходимо установить характеристику потоков, для которых можно применять уравнение Бернулли, а также предложить способ учета неравномерности скоростей в живых сечениях потока.

Для решения этих вопросов в гидравлике выделяется так называемое плавно изменяющееся движение (рис. 4.27, 4.28), которое характеризуется следующими особенностями.

Рис. 4.27. Схема плавно изменяющегося движения

Рис. 4.28. Схема криволинейного плавно изменяющегося движения

• 1. Угол расхождения соседних струек, а следовательно, и поперечные составляющие скоростей в живых сечениях потока настолько малы, что ими можно пренебречь и рассматривать течение как происходящее только с продольной скоростью.
• 2. Кривизна линий тока настолько мала, а радиусы закруглений настолько велики, что центробежными силами в таких потоках можно пренебречь.
• 3. Кривизна живых сечений при неравномерном распределении скорости настолько невелика, что их можно рассматривать как плоские.
• 4. Гидродинамическое давление в живых сечениях распределяется по законам гидростатики, т.е. сумма для всех точек данного живого сечения. Следовательно, уровень в пьезометрах при плавно изменяющемся движении во всех точках живого сечения потока будет одним и тем же (рис. 4.29).

Рис. 4.29. Схема к определению величины гидродинамического давления

В случае плавноизменяющегося движения уравнение Бернулли для элементарной струйки можно распространить и на поток с поперечным сечением конечных размеров, скорости в различных точках которого различны. Однако в гидравлике обычно расчеты ведутся по средним скоростям. Для приведения результатов расчетов по средним скоростям в соответствие с расчетами по действительным скоростям вводятся некоторые поправочные коэффициенты (коэффициент Кориолиса, см. ниже).

Таким образом, плавно изменяющееся движение можно считать практически одномерным, т.е. положить , направив ось х параллельно потоку. Отсюда . Отсюда из уравнения неразрывности . Тогда система уравнений Навье – Стокса примет вид

Производные от скорости по переменным у и z означают, что скоростьизменяется по этим переменным, тогда как

Последние два уравнения переходят в уравнения гидростатики Эйлера, а это означает, что в плоскости yOz давления распределяются по закону гидростатики.

Распространим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в виде

(4.22)

на поток реальной жидкости.

Правая и левая части этого уравнения есть удельная энергия жидкости, т.е. энергия, отнесенная к единице веса. Весовой расход элементарной струйки определяется по формуле

где – сечение элементарной струйки; – объемный расход.

Умножая обе части уравнения (4.22) на, получим не удельную, а полную энергию элементарной струйки в сечениях 1 и 2 и полную потерю этой энергии между сечениями 1 и 2 в единицу времени, т.е. , где – энергия струйки в 1-м сечении;– энергия струйки во 2-м сечении; – потеря энергии между 1-м и 2-м сечениями.

Тогда

Для того чтобы получить подобные соотношения мощностей для всего потока

необходимо произвести интегрирование:

(4.23)

Преобразуем эти интегралы:

Так как при плавноизменяющемся движении то во всех точках данного сечения и .

Аналогично

Запишем третье слагаемое в левой части соотношения (4.23) в виде

т. е. выразим его как произведение некоторого коэффициента а на скоростной напор, подсчитанный по средней скорости потока й, и на весовой расход жидкости

Коэффициент а называют коэффициентом кинетической энергии потока, или коэффициентом Кориолиса. Таким образом, а представляет отношение кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости всех точек живого сечения потока равны средней скорости потока:

(4.24)

Кроме того, из формулы (4.24) следует

Отсюда заключаем, что коэффициент а характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Для ламинарного режима , для турбулентного режима

Существенно большее значение а для ламинарного режима течения по сравнению с турбулентным объясняется большей неравномерностью скорости в поперечном сечении потока при ламинарном режиме (см. профили скоростей ламинарного и турбулентного режимов течения, приведенные на рис. 6.17).

Последний интеграл в соотношении (4.23) будет равен

Тогда уравнение Бернулли для потока примет вид

Поделив на весовой расход жидкости G = γQ обе части уравнения, получим соотношение для удельных энергий потока

Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают, и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид

Рассмотрим распределение напоров в жидкости, движущейся в трубопроводе, имеющем сужение в средней его части (рис. 4.30). Выделим три характерных сечения, в которых расположим пьезометры и трубки Пито (описание трубок см. в параграфе 4.14).

На рис. 4.30 при течении жидкости в трубопроводе могут быть выделены следующие характерные линии:

I – линия геометрических напоров;

II – пьезометрическая линия;

III – линия полного напора.

Рис. 4.30. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли

Через обозначены потери напора соответственно на участках между первым и вторым, а также вторым и третьим сечениями.

Применительно к рис. 4.30 уравнение Бернулли запишется в виде

На рис. 4.30 отмечены все напоры, входящие в уравнение Бернулли. В частности, ясно, что пьезометрический напор в узком сечении уменьшается, а скоростной напор возрастает. Максимальная потеря напора имеет место в третьем сечении (, потери на трение и в местных сопротивлениях см. в гл. 6).