Распределение скорости в условиях гидравлического удара

Процесс течения реальных вязких несжимаемых жидкостей описывается дифференциальными уравнениями вида (5.11), (5.12). Выше (см. параграф 5.6) было указано, что эти два уравнения могут быть сведены к одному гиперболическому уравнению относительно давления или скорости (уравнение (5.15) или (5.16)). Решение уравнения относительно давления было дано в параграфе 5.6. Найдем решение краевой задачи о распределении скорости жидкости, движущейся в трубопроводе длиной l, для случая, когда начальная скорость по всей длине трубопровода равна v0 = const. В момент времени t = 0 происходит мгновенное закрытие задвижки в сечении х = l, и, следовательно, скорость жидкости в этом сечении становится равной нулю. Требуется определить распределение скорости но длине трубопровода в любой момент времени вплоть до наступления стационарного состояния, при котором скорость течения жидкости по всей длине трубопровода будет равна нулю.

Математическая постановка задачи о распределении скорости по длине трубопровода во времени в данном случае включает уравнение (5.16) со следующими начальными и граничными условиями

(5.42)

где– начальная скорость, одинаковая по всей длине трубопровода.

После нахождения решения задачи (5.16), (5.42) изменение давления во времени в сечении х = l, в котором происходит максимальное увеличение давления при гидравлическом ударе, находится путем интегрирования уравнения (5.13), т.е.

где – давление в сечении х = 0 (предполагается известным).

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

где – безразмерная скорость; Fo – число Фурье (безразмерное время); ξ – безразмерная координата; For = const – безразмерный параметр.

С учетом принятых обозначений задача (5.16), (5.42) приводится к виду

(5.43)

Задача (5.43) полностью совпадает с задачей (5.19) – (5.21), поэтому все результаты исследований применительно к задаче (5.19) – (5.21), представленные на рис. 5.1–5.9, могут быть применены и к задаче (5.43).

В случае, когда известно решение задачи (5.18) относительно давления (см. решения вида (5.31), (5.40)), скорость в сечении ξ = 0 может быть найдена без необходимости получения решения задачи (5.43). Для этого достаточно проинтегрировать уравнение (5.12) в пределах длины трубопровода:

Отсюда находим

Учитывая, что применительно к задаче (5.17) получаем соотношение для скорости в сечении х = 0:

где давление р(х, t) (в безразмерном виде ) находится из соотношений (5.31), (5.40).

Аналитические решения гиперболических уравнений движения при разгонном течении Куэтта

Изучение разгонных течений (течений, которые возникают из состояния покоя) представляет значительный интерес в технике, так как позволяет выполнить оценку формирования во времени пограничного слоя на стенке, движущейся в неподвижной среде, или при движении потока среды вдоль неподвижной стенки.

Разгон течения Куэтта имеет место в случае, когда на некотором расстоянии 8 от движущейся стенки находится параллельная ей неподвижная стенка. Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид (рис. 5.11, а)

(5.44)

(5.45)

где и – скорость жидкости; у – координата; t – время; v – кинематическая вязкость;– расстояние между подвижной и неподвижной пластинами;– скорость движения пластины в направлении, перпендикулярном оси у.

Отметим, что уравнение (5.44) получено из системы дифференциальных уравнений Навье – Стокса для случая слоистого одномерного течения при отсутствии массовых сил и градиента давления.

Рис. 5.11. Распределение скоростей во времени при течении Куэтта (решение параболического уравнения); Fo = vt/δ2:

а – общий случай; б – случай симметричного течения

Задача (5.44), (5.45) аналогична задаче нестационарной теплопроводности для бесконечной пластины при несимметричных граничных условиях первого рода, точное аналитическое решение которой известно [12]. Качественная картина распределения скорости течения среды во времени дана на рис. 5.11, а, из которого следует, что с увеличением времени распределение скоростей между пластинами приближается к линейному.

Известно, что при решении задач теплопроводности для уравнений параболического типа, аналогичных уравнению (5.44), имеют место так называемые парадоксы теории теплопроводности. Они состоят в том, что вблизи стенки, где задаются граничные условия первого рода, из полученных решений следуют бесконечные величины теплового потока и скоростей движения изотерм. Это связано с тем, что в основу вывода параболического уравнения теплопроводности, аналогичного уравнению (5.44), положена формула закона Фурье для теплового потока

(5.46)

где q – тепловой поток; λ – коэффициент теплопроводности; Т – температура; х – координата.

Указанные парадоксы связаны с тем, что в формуле (5.46) уже заложена бесконечная скорость распространения теплового возмущения. В самом деле, в соответствии с решением краевой задачи теплопроводности изменение температуры в какой-либо точке тела приводит к мгновенному изменению ее во всех других точках.

Известно, что в основу вывода системы дифференциальных уравнений Навье – Стокса, а следовательно, и уравнения (5.44) положен закон Ньютона для касательного напряжения (аналогичный закону Фурье)

(5.47)

где т – касательное напряжение; µ – динамическая вязкость.

Точно так же из решения уравнения (5.44) следуют парадоксы, связанные с бесконечными значениями касательных напряжений вблизи стенки и бесконечными скоростями движения изотах (линий одинаковых скоростей) в этой же области среды. Это связано с тем, что бесконечная скорость распространения гидравлических возмущений при нестационарном течении жидкости оказывается заложенной в формуле (5.47), согласно которой напряжение мгновенно следует за скоростью деформации.

Таким образом, уравнения параболического типа, выведенные на основе диффузионных законов Фурье, Ньютона, Фика (перенос массы), Ома (перенос электрических потенциалов) и др., не содержат решений, удовлетворяющих нулевым начальным условиям, что объясняется некорректностью математических моделей этих задач. Это связано с тем, что параболический оператор соответствует только строго определенным линиям одинаковых потенциалов (изотермы, изотахи и проч.), выход за пределы которых невозможен путем одного лишь расширения начальных и граничных условий.

Поэтому невозможно получить кривые, несвойственные параболическому оператору, одним лишь изменением этих условий – путь, по которому происходило развитие теории краевых задач диффузионного типа. Именно этот путь и приводит к перечисленным выше парадоксам и некорректно поставленным задачам, когда решение либо не единственно, либо не существует, либо неустойчиво [21].

Отсюда можно заключить, что в нестационарных процессах законы распределения потенциалов исследуемых нолей, вообще говоря, не подчиняются строго законам Фурье, Ньютона, Фика, Ома и др., что связано с отсутствием в формулах этих законов параметров, учитывающих конечную скорость распространения описываемых ими возмущений.

В основу вывода гиперболического уравнения теплопроводности

(5.48)

где τr – время релаксации, учитывающее инерционность теплового потока, с, положена формула Максвелла – Каттанео для теплового потока [9, 11 – 13]

(5.49)

Формула (5.49) была также получена А. В. Лыковым из предложенной им обобщенной системы уравнений Онзагера, найденной исходя из гипотезы о конечной скорости диффузии массы и теплоты [11, 13]:

(5.50)

где – поток субстанции (теплоты, массы и т.д.); – термодинамические движущие силы;– постоянные феноменологические коэффициенты переноса ().

Если пренебречь производной по времени от движущей силы, то из формулы (5.50) для одномерного потока теплоты получаем формулу (5.49), где;

Однако если величиной ∂Х /∂t не пренебрегать, формула для теплового потока будет иметь вид

(5.51)

где

На основе формулы (5.51) с использованием уравнения теплового баланса

где с – теплоемкость; у – плотность, выводится гиперболическое уравнение теплопроводности

(5.52)

Таким образом, гиперболическое уравнение (5.52) получено с учетом всех членов предложенной А. В. Лыковым обобщенной системы уравнений Онзагера (5.50). Аналогичное уравнение можно получить, если применительно к формуле (5.46) вводить релаксационную поправку не только для теплового потока, но и для модуля градиента температуры дТ/дх. Учет слагаемого с производной третьего порядка в уравнении (5.52) приводит к существенному не только количественному, но и качественному отличию получаемых результатов по сравнению со случаем его отсутствия.

Применительно к течению вязкоупругой среды Олдройд [11] теоретическим путем получил следующее уравнение:

(5.53)

где – напряжение сдвига (касательное напряжение); – деформация сдвига (относительное удлинение); – удлинение (смещение) по направлению оси х; – коэффициент релаксации (период релаксации) вя́зкоупругих напряжений; – модуль упругости на сдвиг; у – угол сдвига; η, η' – некоторые постоянные (феноменологические коэффициенты); индексы i, k такие же, как в формуле (5.50).

Если положить , то уравнение (5.53) оказывается тождественным уравнению (5.50) [11].

Обозначая , а также учитывая, что

соотношение (5.53) приводим к виду

(5.54)

Очевидно, что соотношение (5.54) по форме записи аналогично соотношению (5.51). Соотношение (5.54) можно также получить, если учесть релаксационные добавки как для касательного напряжения, так и для модуля градиента скорости, т.е. представлять их в виде соотношений и . Заменяя этими соотношениями и в формуле (5.47), приходим к формуле (5.54).

При плоском прямолинейном сдвиговом движении основное уравнение динамики в напряжениях приводится к виду

(5.55)

Подставляя соотношение (5.54) в формулу (5.55), получаем гиперболическое уравнение в напряжениях

Найдем аналогичное уравнение для функции Дифференцируя уравнение (5.55) по времени, находим

(5.56)

Дифференцируя уравнение (5.54) по переменной г/, будем иметь

(5.57)

Подставляя соотношение (5.57) в уравнение (5.55), получаем

(5.58)

Подставляя равенство (5.56) в уравнение (5.58), находим

(5.59)

Уравнение (5.59) по форме записи аналогично уравнению (5.52).

Если вместо соотношения (5.54) для касательного напряжения использовать формулу

то приходим к следующему гиперболическому уравнению для функции и (аналогичный вид будет иметь и уравнение для τ):

(5.60)

В этом случае получаем уравнение, аналогичное уравнению (5.48)

Отметим, что уравнения вида (5.59), (5.60) могут быть получены также и для задач диффузии вихря.

Для нахождения точного аналитического решения уравнения (5.59) рассмотрим краевую задачу при симметричном течении Куэтта, т.е. предположим, что две бесконечные плоскопараллельные пластины перемещаются в неподвижном потоке жидкости. Поскольку задача симметричная, то будем рассматривать лишь половину ширины канала (рис. 5.11, б). Граничные условия для уравнения (5.59) в данном случае будут иметь вид

(5.61)

где u0 – скорость движения пластины; δ – половина ширины канала.

Для приведения задачи (5.59), (5.61) к безразмерному виду введем следующие безразмерные переменные и параметры:

где υ – безразмерная скорость; η – безразмерная координата; Fo – число Фурье; Foρ = const.

Задача (5.59), (5.61) с учетом принятых обозначений примет вид

(5.62)

(5.63)

Для удобства получения аналитического решения сделаем замену переменных

(5.64)

Задача (5.62), (5.63) с учетом соотношений (5.64) будет

(5.65)

(5.66)

(5.67)

Решение задачи (5.65) – (5.67) принимается в виде

(5.68)

Подставляя соотношение (5.68) в уравнение (5.65), находим

(5.69)

(5.70)

где е – некоторая постоянная.

Граничные условия для уравнения (5.70) исходя из равенств (5.67) будут

(5.71)

Решение краевой задачи Штурма – Лиувилля (5.70), (5.71) принимается в виде

(5.72)

Очевидно, что соотношение (5.72) удовлетворяет граничным условиям (5.71).

Подставляя соотношение (5.72) в уравнение (5.70), получаем формулу для нахождения собственных чисел

Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения (5.69) имеет вид

(5.73)

Решение уравнения (5.73) для каждого собственного числа будет

(5.74)

Отметим, что дискриминант D соотношения (5.74) при любых и больше нуля, т.е.

Следовательно, из соотношения (5.74) для каждого собственного числабудем получать два действительных отрицательных корня и , .

Далее действуем аналогично процедуре, рассмотренной в параграфе 5.6. Решение уравнения (5.69) с учетом найденных значенийиимеет вид

(5.75)

где,;– неизвестные коэффициенты.

Подставляя соотношения (5.72), (5.75) в уравнение (5.68), находим

(5.76)

Каждое частное решение (5.76) удовлетворяет уравнению (5.65) и граничным условиям (5.67), но ни одно из них не удовлетворяет начальным условиям (5.66). Составим сумму частных решений

(5.77)

Для определения неизвестных коэффициентови используются начальные условия (5.66). Подставляя выражение (5.77) во второе равенство (5.66), получаем

(5.78)

Подставляя выражение (5.77) в первое равенство (5.66), с учетом равенства (5.78) получаем

(5.79)

Соотношение (5.79) представляет разложение единицы в ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи Штурма – Лиувилля на отрезке [0; 1]. Умножим обе части соотношения (5.79) на,, и, интегрируя в пределах отдо, будем иметь:

(5.80)

Соотношение (5.80) ввиду ортогональности косинусов принимает вид

(5.81)

Вычисляя интегралы в выражении (5.81), находим

После определения коэффициентов и , , точное аналитическое решение задачи (5.65) – (5.67) находится из формулы (5.77).

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что все исходные уравнения задачи (5.65) – (5.67) удовлетворяются точно.

Результаты расчетов по формуле (5.77) приведены на рис. 5.12–5.19. Их анализ позволяет заключить, что при малых значениях числа Fop (Fop= 10-7) получаемые по формуле (5.77) решения в диапазоне чисел полностью совпадают с решением аналогичной задачи для классического параболического уравнения (т.е. при Fop = 0 в уравнении (5.65) – см. рис. 5 .12, 5.13).

При Fop < 10-6 распределение скорости во времени имеет следующие особенности. Например, при Fop= 2 •10-8 скорость среды в окрестности точки скачкообразно изменяется от величины Θ(1;2•10-8) = 0 непосредственно на стенке (выполнение граничного условия первого рода) до Θ(0,99; 2 • 10-8) = 0,88 в точке ξ = 0,99, т.е. на некотором малом расстоянии от точки ξ = 1. Таким образом, при Fo= 2 •10-8 по всей толщине слоя (0,95≤ξ≤1) скорость изменяется от 0 = 0,88 при ξ = 0,99 до Θ = 1 при ξ = 0,95, в то время как при ξ = 1 Θ(1; 2• 10-8) = 0. Аналогичное распределение скорости имеет место и для других чисел Fo < 10-6. Для всех чисел Fo, при которых происходит скачок скорости на стенке в окрестности точки ξ = 1, каких-либо совпадений с решением параболического уравнения не обнаруживается. С увеличением числа Fop скачкообразное изменение скорости вблизи стенки в окрестности точки ξ = 1 наблюдается уже для больших чисел Fo (см. рис. 5.14–5.18). Для больших чисел Fo совпадение с решением параболического уравнения имеет место лишь для тех чисел Fo, при которых скачок скорости на стенке в окрестности точки ξ = 1 не наблюдается, т.е. кривая изменения скорости исходит из точки Θ = 0 при ξ = 1 (например, все кривые для Fo> 0,005, приведенные на рис. 5.14).

При дальнейшем увеличении числа Fop кривые скорости становятся более пологими и при Fop > 20 практически параллельными оси ξ. Скачок скорости на стенке в окрестности точки ξ = 1 в этом случае имеет место практически для всех чисел Fo вплоть до наступления стационарного состояния.

Рис. 5.12. Распределение скорости в плоском канале при разгонном течении Куэтта; Fop = 10 7; п = 104 (п – число членов ряда (5.77))

Рис. 5.13. Распределение скорости в плоском канале при разгонном течении Куэтта; Fop = 10-7; п = 105

Рис. 5.14. Распределение скорости в плоском канале при разгонном течении Куэтта; Fop = 10 3; п = 104

Па рис. 5.18 дано распределение скорости во времени для ξ = 0,9999 при Fop = 10-3. Анализ результатов позволяет заключить, что в диапазоне 0 ≤ Fo ≤ 0,2•10-3 скорость в точке ξ = 0,9999 равна начальной скорости Θ(0,9999; 0,2-10-3) = 1. В диапазоне 0,2-10-3 ≤Fo≤7•10-3 скорость в этой точке экспоненциально уменьшается от Θ(0,9999;0,2•10-3) = 1 до Θ(0,9999; 7 • 10-3) = 0. И для всех Fo ≥ 7 • 10-3 скорость в точке ξ= 0,9999 принимает нулевое значение, заданное граничным условием первого рода. Таким образом, при Fop= 10-3 скачки скорости в окрестности поверхности стенки ξ = 1 происходят в диапазоне 0 ≤ Fo ≤ 7 • 10_3. Временной диапазон, в пределах которого происходят скачки скорости на стенке, зависит от величины Fop. С возрастанием Fop он смещается в сторону больших чисел Fо.

Рис. 5.15. Распределение скорости в плоском канале при разгонном течении Куэтта; Fon = 1,0; п = 104

Рис. 5.16. Распределение скорости в плоском канале при разгонном течении Куэтта; Fop = 5; п = 104

Исследования показали, что решение уравнения (5.77) не приводит к появлению скачков скорости (а следовательно, и к возникновению изотах внутри тела). Во всем исследованном диапазоне чисел Fo и Fop не обнаружено также и появление отрицательных скоростей.

Рис. 5.17. Распределение скорости в плоском канале при разгонном течении Куэтта; Fop = 20; п = 104

Рис. 5.18. Распределение скорости во времени в точке ξ = 0,9999; Fop= 10-3; п = 103

При использовании формул (5.47), (5.54) в работе [7] для разгонного течения Куэтта найдено изменение безразмерного касательного напряжения на неподвижной стенке путем интегрирования соответствующих этим формулам дифференциальных уравнений. Безразмерное касательное напряжение в данном случае вводится по формуле

где– безразмерное касательное напряжение; δ – ширина плоского канала; U0 – скорость подвижной пластины.

Рис. 5.19. Изменение касательного напряжения на стенке при Fop = 0,3:

1 – решение уравнения (5.47); 2 – решение уравнения (5.54)

Анализ изменения безразмерного касательного напряжения позволяет заключить (см. рис. 5.19), что касательное напряжение на стенке, определяемое формулой (5.47), при Fo → 0 устремляется к бесконечному значению. Напряжение, определяемое формулой (5.54), при Fo → 0 стремится к нулю. В данном случае касательное напряжение, имея в начальный момент времени нулевое значение, с увеличением времени возрастает, принимая при некотором Fo = Fo* максимальное значение . При дальнейшем возрастании времени уменьшается и при

Полученные результаты применительно к решению уравнения (5.54) позволяют сделать следующие выводы: касательное напряжение на стенке не может превысить некоторой максимальной для данных конкретных условий (определяемых физическими свойствами среды) величины; применение формулы (5.54) позволяет избежать бесконечных значений касательных напряжений.